弗雷格，德国数学家、逻辑学家和哲学家，现代数理逻辑和分析哲学的奠基人。《算术基础》是他系统阐述其数学哲学思想的名著。该书虽以“算术基础”为名，却为现代分析哲学与数理逻辑奠定了重要基础。如今，该书的意义早已突破数学专业的藩篱，在哲学、逻辑学乃至科学方法论中均产生了深远影响。 英国著名思想家罗素（Bertrand Russell）曾说，在逻辑分析问题上，他主要获益于弗雷格。

(德)弗雷格，数学家、逻辑学家和哲学家，现代数理逻辑和分析哲学的奠基人，代表作品包括《概念语言》《算术基础》《算术的基本规律》等。 凌复华

弁 言 导读（一） 导读（二） 引 言 说 明 §1. 数学中的最新趋势：追求证明的严谨性和概念的明确定义 §2. 这种追求最终必定延伸到数这一概念本身；证明的目的 §3. 这种追求的哲学动机：争论的焦点 —— 数的定律是分析的还是综合的，是先验的还是后验的；这些表述的意义 §4. 本书的任务 Ⅰ. 一些作者对算术命题本质的看法 数的公式是可证明的吗？ §5. 康德否认汉克尔正确地称之为悖论的东西 §6. 莱布尼兹关于 2+2=4 的证明中有一个缺陷；格拉斯曼关于 a+b 的定义是错误的 §7. 穆勒的以下看法是没有根据的：各个数的定义确定了所观察到的事实，由这些定义可以进行计算 §8. 这些定义的合理性不需要对事实的观察 算术定律是归纳真命题吗？ §9. 穆勒的自然法则；穆勒把算术真命题称为自然法则，从而混淆了自然法则及其应用 / 31 §10. 否定加法定律是归纳真命题的理由：数的不同类型；由数的定义本身不能得出数的大量共同属性；归纳法很可能反而是以算术为基础的 §11 莱布尼兹的“与生俱来”说 算术定律是先验综合的还是分析的？ §12. 康德、鲍曼、利普希茨、汉克尔；内在直观作为认识的基础 §13. 算术与几何的区别 §14. 就各自的支配领域比较各类真命题 §15. 莱布尼兹和杰文斯的观点 §16. 反对穆勒所谓“语言的巧妙操纵”的嘲讽；符号并不因为它不指称任何可察觉的东西就是空的 §17. 归纳的不充分性；推测数的定律是分析判断；在这种情况下，它们有什么用处；尊重分析判断 Ⅱ. 一些作者对数这一概念的看法 §18. 探讨数这个一般概念的必要性 §19. 定义不可能是几何的 §20. 数是可定义的吗？汉克尔、莱布尼兹 数是外部事物的属性吗？ §21. 康托和施罗德的观点 §22. 鲍曼的反对意见：外部事物并不构成严格的单位；数似乎取决于我们的把握方式 §23. 穆勒关于数是事物集聚属性的观点是站不住脚的 §24. 数的广泛适用范围；穆勒、洛克、莱布尼兹的非物质形而上学形象；如果数是某种可感知的东西，就不能把它归为不可感知的 §25. 穆勒所认为的 2 和 3 之间的物理区别；根据贝克莱，数并不真正存在于事物中，而是由心灵创造出来的 数是主观的东西吗？ §26. 利普希茨对数的构造的描述是不合适的，不能用来代替对概念的确定；数不是心理学的对象，而是某种客观存在的东西 §27. 数不是像施勒米尔希所认为的那样，是一个对象在一个序列中位置的表象 作为“聚合”的数 §28. 托梅的命名 Ⅲ. 对单位和“一”的看法 数“一”表示对象的一种属性吗？ §29. 术语 μον?? 和 Einheit（单位）的多义性；施罗德把单位定义为待计数的对象似乎是毫无意义的；形容词“一”并未作出进一步的界定，不能作为谓词 §30. 莱布尼兹和鲍曼给出的定义似乎使“一”这一概念完全消失了 §31. 鲍曼关于未被分割性和有界性的准则；“一”这一概念并不是由某个对象提供的（洛克） §32. 语言确实还是指出了与未被分割性和有界性的某种联系，但意义有所变化 §33. 不可分割性（柯普）不能作为“一”的标识而得到 单位彼此等同吗？ §34. 等同性是“单位”这一名称的基础；施罗德、霍布斯、休谟、托梅；从事物之间的差异抽象出来的关系不能得到数的概念，事物并不因此彼此等同 §35. 如果要谈论复多性，差异是必需的；笛卡儿、施罗德、杰文斯 §36. 关于单位差异性的观点也遇到了困难；杰文斯的不同的“一” §37. 洛克、莱布尼兹和黑塞用“单位”或“一”来定义数 §38. “一”是专有名词，“单位”是概念词；数不能被定义为单位；“和”与“+”的区别 §39. “单位”的多义性掩盖了化解单位等同性与可区别性的困难 尝试克服困难 §40. 空间和时间作为区别单位的手段；霍布斯、托梅；反对者：莱布尼兹、鲍曼、杰文斯 §41. 这个目的将不能达到 §42. 把在一个序列中的位置作为区别的手段；汉克尔的“设定” §43. 施罗德用符号 1 描绘对象 §44. 杰文斯抽象掉差异的特征但保留差异的存在；0 和 1 是与其余的数一样的数；困难仍然存在 克服困难 §45. 回顾 §46. 数的给出包含了一个概念的陈述；不同意见：概念不变时，数发生变化 §47. 给出数的事实由概念的客观性说明 §48. 解决一些困难 §49. 斯宾诺莎的证明 §50. 施罗德的说明 §51. 上节所述主张的正当性 §52. 在德语习惯用语中找到的佐证 §53. 一个概念的特征及其属性之间的区别；存在及数 §54. 单位可以被称为是数的给出的一个主词；单位的不可分割性和有界性；单位间的等同性和可区别性 Ⅳ. 数的概念 每个数都是一个独立的对象 §55. 尝试完善莱布尼兹对各个数的定义 §56. 尝试的定义不可用，因为它给出的是一个表述，而数只是其中的一部分 §57. 数的给出应被视为数之间的一个等式 §58. 不同意把数作为自主对象的表象；数根本不能作为表象 §59. 不能因为一个对象不能作为表象就把它排除在研究之外 §60. 即使是具体的事物也并非总是可以作为表象；在探寻一个词的指称时，必须把这个词放在句子中考虑 §61. 对数的非空间性的不同看法；不是每个客观对象都是空间的 为了获得数的概念，必须确定数的等式的意义 §62. 我们需要数的相等性的一个特征 §63. 这种一一对应的可能性；逻辑思考：相等性是为此特殊情况专门定义的 §64. 类似方法的例子：方向、平面的取向、三角形的形状 §65. 尝试给出一个定义；第二个问题：等同性法则是否得到满足？ §66. 第三个问题：等同性的特征是不充分的 §67. 不能把一个对象的引入方式作为概念标识的补充 §68. 数目作为一个概念的外延 §69. 说明 补充和确认我们的定义 §70. 关系概念 §71. 通过一个关系来对应 §72. 一一对应关系；数目的概念 §73. 如果有一种关系，它使落入 F 之下的对象与落入 G 之下的对象之间一一对应，那么归属于概念 F 的数目与归属于概念 G 的数目是相等的 §74. 零是归属于“与自身不等同”这一概念的数目 §75. 零是归属于“没有任何东西落入其下”这样一个概念的数目；如果零是归属于某一个概念的数目，那么没有任何对象落入这一概念之下 §76. “在自然数序列中，n 直接后继 m”这个表达式的定义 §77. 1 是归属于“与 0 等同”这一概念的数 §78. 借助我们的定义证明的命题 §79. “在一个序列中后继”的定义 §80. 对此的评论；后继的客观性 §81. 表达式“x 隶属于以 y 结尾的 φ 序列”的定义 §82. 证明“自然数序列中没有最后一个数”的大纲 §83. 有限数的定义；在自然数序列中，没有一个有限数后继其自身 无穷数 §84. 归属于“有限数”这一概念的数目是无穷数 §85. 康托无穷数；“基数”，术语名称的分歧 §86. 康托的“在演替中的后继”和我的“在序列中的后继” Ⅴ. 结论 §87. 算术定律的本质 §88. 康德低估了分析判断的价值 §89. 康德的名言：“没有感知，我们就不会有对象”；康德对数学的贡献 §90. 为了完整证明算术定律的分析性，我们还需要一条严密的推理链 §91. 我对概念的表达方法可以弥补这一不足 其他数 §92. 汉克尔所说的关于数的可能性问题的意义 §93. 数既不在我们之外的空间中，也不是主观的 §94. 一个概念无矛盾，并不能保证总有对象落入这个概念之下；而且，概念本身是否无矛盾，也需要证明 §95. 我们不能不加思索就将 c-b 看作解决减法问题的一个符号 §96. 即使数学家也不能随心所欲地创造事物 §97. 必须把概念与对象区别开来 §98. 汉克尔对加法的定义 §99. 形式主义理论的缺陷 §100. 尝试通过某种特殊方式扩展乘法的指称来解释复数 §101. 这样一种证据的可能性与一个证明的作用并不相同 §102. 仅仅要求某种运算应该起作用并不等于它可行 §103. 科萨克对复数的定义只是对定义的一个提示，且未能避免引入陌生事物；几何表示 §104. 需要确定对新的数的识别判断的意义 §105. 算术的魅力在于它的合理性 §106. 回顾（一） §107. 回顾（二） §108. 回顾（三） §109. 回顾（四）