本书第一章“微分流形的基本概念”介绍了微分流形的基本概念，包括向量场、可微函数的方向导数、子流形以及Frobenius定理。随后，作为这些理论的应用，还介绍了李群及其李代数的基本理论，为后续章节的深入讨论奠定基础。第二章“外微分形式与Stokes定理”主要讨论Cartan的外微分形式理论及其积分理论。通过详细阐述外微分形式的性质与运算，最终证明了著名的Stokes定理，为微分流形上的积分理论提供了重要工具。第三章“向量丛的联络理论与示性类”探讨了微分流形上向量丛(或主丛)的联络理论。借助联络理论和deRham理论，引入了(复)向量丛示性类的几何理论，特别是Chern-Weil定理。这些内容为进一步研究向量丛的几何性质提供了理论基础。第四章“黎曼几何初步”介绍了黎曼几何的基本内容，包括黎曼几何的基本定理、测地线的性质以及黎曼流形的局部性质与完备性。此外，还讨论了黎曼流形上的积分理论，特别是散度定理，并引入了Bochner-Weitzenbock技巧，为研究黎曼流形的几何与分析性质提供了工具。