偏微分问题的周期展开方法现代数学丛书第3辑_[法]多依娜·乔拉内斯库（Doina Cioranescu）_9787547874172

在微分方程研究中，多尺度问题在科学界和工程界十分常见，如多孔介质、湍流等。怎么从数学上描述一个多尺度问题呢？比如多孔介质，这就要涉及一系列的微分方程的建立和求解。尤其是求解，是个非常复杂的问题，为此，数学家们提出了各种计算求解的方法。
本书提出的周期展开法具有重要的价值和应用。第一个概念是尺度的变化，它体现在展开算子中。在使维数加倍的情况下，这使得可使用标准弱或强收敛定理，而不是更复杂的工具（如两尺度收敛，这仅仅是展开的弱收敛）。第二种思想是尺度分离，它是一种函数的宏微观分解，特别适用于弱收敛的索博列夫空间序列。在这种方法的框架下，大多数周期均匀化结果的证明是基本的。展开法特别适合于多尺度问题（简单的向后迭代参数足够）和精确校正结果，而不需要对数据有额外的规则性。因此，这在计算上是一个非常重要的方法。

在20世纪60年代末和70年代初，均匀化理论凭借其自身价值，已发展成为偏微分方程及其数值逼近这一数学分支中一个独立的新兴领域.该理论起源于物理学和力学中的多项研究，这些研究通过微观异质介质推导出等效的(空间)均匀宏观结构，例如可见Bruggeman[41](1935),Hashin与Shtrikman[134](1963).应用数学家和数值分析学家对其的关注真正兴起于20世纪60年代末.开创性成果可参见：De Giorgi与Spagnolo[97](1973), Babuska [19](1975),Bensoussan,Lions与Papanicolaou[21](1978),Sanchez-Palencia[181](1980)等.
为理解具有高度振荡但有界系数的偏微分方程极限问题，学界引入了多种数学方法从形式渐近展开方法([21,181]),G-收敛和Gamma-收敛([97])理论，到振荡试验函数方法(Murat和Tartar[166]).这些方法不仅催生了不同数学框架下的丰硕成果，更积累了浩如烟海的参考文献，代表性著作包括：Sanchez-Palencia[181](1980),Attouch[17](1984),Bakhvalov与Panasenko[20](1989),Dal Maso[83](1993),Jikov,Kozlov与Oleinik[138](1994),Braides与Defranceschi[35](1998),Cioranescu与Donato[71](1999),Carbone与De Arcan-gelis[46](2001).尤其值得关注的是，该方法体系还成功应用于标量场与矢量场构型下的各类问题，并同时涵盖凸与非凸能量泛函的研究场景.
1987年，Nguetseng [169](1989年发表)首次提出双尺度收敛的概念，将其作为一种抽象理论工具.Allaire[4](1989)率先将该方法发展并应用于周期均匀化问题，随后众多学者跟进(参见Lukkassen,Nguetseng与Wall [155](2002)及其参考文献).该概念被进一步推广至多尺度周期问题领域，代表性工作包括：Ene与Saint Jean Paulin[107](1995),Allaire与Briane[6](1996),Lions,Lukkassen,Persson与Wall[151](2001)(另见[36,154,155]).
尺度变换法长期被成功用于理解从三维薄层问题向二维或一维问题的转化过程(例如板或梁研究的降维分析，参见Ciarlet-Destuynder [59](1979),Caillerie[44](1980).从某种角度看，该方法与微分几何及代数几何中用于奇点分析的经典爆破法存在相似性.学界曾普遍认为类似方法可应用于周期均匀化问题，但其实现仍需时日.
早在1990年，Arbogast,Douglas与Hornung的论文[14]中就已采用一种膨胀算子(与展开算子类似),用于研究双孔隙周期介质在微观胞元连续分布区域内的均匀化问题(但他们未从该视角提出普适性均匀化方法，后续研究者亦未察觉其潜力). 类似的膨胀技术随后被多篇论文独立使用且冠以不同名称：例如，Bourgeat,Luckhaus与Mikelic[34](1996,称其为周期调制);Lenczner等人[145-148](1997-2004,专用于离散电路网络分析);Allaire与Conca[7](1998),Allaire,Conca与Vanninathan [8](1999,用于Bloch分解);Casado-Diaz等人[48-51](2000-2003,研究网状结构).值得注意的是，这些学者同样未能洞察其背后隐含的普适方法论.
20世纪90年代中期，Griso在[117]中独立采用某种膨胀技术研究类桁架结构(含双小参数),并创新性地通过解与其自然Q?-插值间的差异分析极限问题(无需借助双尺度收敛理论).这一突破性工作最终催生了周期展开法作为研究周期均匀化问题的普适工具，该方法首见于文献[61],后续在[60,63,64]中得到系统发展.该方法可视为周期化场景下爆破法的自然延伸(1).
本书致力于系统阐述周期展开法，其核心在于将膨胀技术与有限元近似思想相结合.该方法通过以下创新路径重构均匀化理论框架：以展开序列在特定固定空间(针对二次能量泛函的周期均匀化问题，该空间特指希尔伯特空间)中的弱收敛直接替代双尺度收敛；同时引入展开算子的伴随算子，从而在保证数学严谨性的前提下，推导出兼具普适性与精确度的校正结果体系.
该方法是一种方法，其实际应用流程因具体问题而异，但其核心思想简明扼要：
●第一步.展开算子：选定适配的展开算子，对展开后的函数进行一致
估计，并在固定空间中至少对某一子列取弱极限；
●第二步.极限问题构建：建立展开后的极限控制方程；

●第三步.均匀化提炼：从展开极限问题中萃取均匀化问题；(2)

●第四步.校正定理构建：得到直接的校正结果(可结合展开算子的伴随
算子).
本书通过多维度数学框架系统阐释该方法，并辅以系列应用案例实证其普适效能，充分彰显其高效性与强健性.需特别指出的是，在绝大多数应用场景中，求解域并非由ε周期胞元(ε-periodicity cells)简单并集构成，这一特性将引发边界邻近区域内的趋消失层(vanishing layer)中的复杂效应.这些困难在该方法中将会得到完全解决.
第一部分系统阐述单/多小周期尺度固定域展开法，同步提供误差估计的
精细化分析.
第二部分聚焦单/多小周期尺度穿孔域展开法，凸显了该方法将展开问题
转换为固定域问题的明显优势.
第三部分(精要篇)考虑部分展开和快速振荡边界.这里同样是将展开问题
转换为固定域问题.此外还给出了可变域的一个通用框架.
第四部分处理在体相小孔或沿超平面小孔情况下的展开.在这些情况下，
众所周知可能会出现一些奇异项(strange terms).同样地，在某种意义下，问题被转换到一个固定域.
第五部分给出一个线性弹性体的例子，其中将结合展开和降维两种方法.
最后，第六部分详细展示模型问题的精确误差估计和校正子.
此外，在本书的最后增加了一个新的章节(第15章),致力于将展开方法扩展到有限和可数多个尺度的情况，包括穿孔周期胞元的情形.
每一部分均以通俗易懂的形式呈现多个详实案例.
本书读者需具备本科阶段泛函分析、测度论与积分理论、Sobolev空间及椭圆型偏微分方程的基础知识.另外均匀化理论中的一些概念可辅助理解但非必要前置条件(推荐参考以下文献：[21,35,71,79,157,159,162,170,177,188]).
本书可以作均匀化理论研究生课程的教科书.技术性较强的部分以星号(*)标注，初学阶段可选择性略读.
自从在文献[61]中首次提出周期展开法以来，该方法已在众多前沿研究中得到应用(相关成果浩繁，此处不胜枚举)(3)
作者殷切期望本书能激发学界对该方法的深度拓展与创新应用.
多依娜·乔拉内斯库(Doina Cioranescu)
阿兰·达姆拉米安(Alain Damlamian)
乔治·格里索(Georges Griso)
2018年7月

第一部分固定域上的展开 1
第 1 章固定域上的展开算子 3
1.1 展开算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 局部平均算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 平均算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 展开和梯度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 带参数展开及迭代展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 宏微观分解和尺度分离算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
第 2 章展开法的高阶专题 69
2.1 周期胞元变化的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 关于部分信息的展开法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3 在 L
1 空间中的展开和关于测度的展开 . . . . . . . . . . . . . . 94
第 3 章固定域上的均匀化 114
3.1 线性扩散问题的均匀化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 非线性扩散的均匀化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3 作用在梯度上的积分泛函的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
第二部分穿孔区域上的展开 175
第 4 章穿孔区域上的展开算子 177
4.1 定义和记号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.2 在周期穿孔区域上的展开算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3 展开与梯度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.4 边界展开算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.5 关于裂纹的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6 若周期胞元不是超平行体, 则当如何? . . . . . . . . . . . . . . . 226
第 5 章穿孔域上的均匀化 231
5.1 Dirichlet-Neumann问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2 Neumann问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3 孔洞框架周期分布的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.4 Fredholm二择一定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.5 如何处理穿孔固体结构? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.6 裂纹: 从线性算子到Leray-Lions算子 . . . . . . . . . . . . . . . 269
第 6 章部分多孔介质中的Stokes问题 276
6.1 问题的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.2 先验估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.3 均匀化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4 标准均匀化问题与校正子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
第三部分部分展开 297
第 7 章部分展开: 简要介绍 299
7.1 关于参数展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2 关于人工周期展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
第 8 章振荡边界 303
8.1 变化区域的Mosco收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.2 一个振荡边界的示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
第四部分关于小障碍物的展开与奇异项 323
第 9 章展开算子: 小孔洞的情形 325
9.1 Sobolev - Poincare -Wirtinger不等式 . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.2 体积分布孔洞的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.3 边界层展开算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
第 10 章含小孔洞区域的均匀化 338
10.1 体分布小孔洞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.2 静电屏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.3 Neumann薄筛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.4 Neumann 厚筛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.5 具有障碍时的不等式: 苦行僧地毯 (fakirs carpet) . . . . . . . 381
10.6 边界附近的奇异非均匀性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
第五部分线性弹性 407
第 11 章弹性薄板的均匀化 409
11.1 几何结构与初步结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.2 线性弹性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.3 尺度变换后的板的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.4 关于双参数的展开结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.5 应变张量的渐近行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.6 展开极限问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
11.7 均匀化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
11.8 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
第六部分一个应用: 精确误差估计 459
第 12 章尺度分离算子重述 461
12.1 记号与初步结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
12.2 偏移估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
第 13 章 *强振荡非齐次Dirichlet条件 482
13.1 一维情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
13.2 记号与初步结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
13.3 问题及第一个估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
13.4 具有 H1{2
pB?q 边界数据的Dirichlet问题 . . . . . . . . . . . . 488
13.5 解的一致估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
13.6 均匀化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
13.7 边界平直部分的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
13.8 问题(13.8)的变体形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.9 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
第 14 章若干精确误差估计 545
14.1 Dirichlet问题的误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
14.2 Neumann问题的误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
第七部分增补内容 571
第 15 章可数多个尺度情形的展开 572
15.1 有限多个尺度的第一个例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
15.2 带调整项的多重展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
15.3 穿孔周期胞元情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
15.4 可数多个尺度的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
插图目录 621
参考文献 623
索引 643

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