本书主要介绍常微分方程的求解问题，内容以常微分方程发展的时间线为导向，共分为六章内容。第一章，微分方程基本概念与基本定理，介绍微分方程的来源与概念；第二章，初等积分法，介绍常微分方程的基本概念以及在微分方程发展初期几类特殊方程的求解方法；第三章，高阶线性微分方程，主要介绍高阶微分方程的解的结构和常系数高阶线性微分方程的求解问题；第四章，一阶线性微分方程组，主要介绍一阶线性微分方程组的解的结构和常系数一阶线性微分方程组的求解问题；第五章，定性理论以及稳定性理论，包含自洽系统，解的稳定性等；第六章，偏微分方程，介绍偏微分方程的初步概念和应用。

金银来，理学博士，教授，博士生导师。山东省“十一五”“十二五”重点学科《应用数学》学科带头人，山东省教学团队《数学与应用数学专业主干课程群教学团队》带头人，国家特色专业建设点和山东省特色专业《数学与应用数学》专业负责人，山东省精品课程《数学分析》《常微分方程》主持人。

第一章 微分方程基本概念与基本定理1
1.1 微分方程的模型应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 解的存在性与唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 解的延拓与比较定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 解对初值的连续依赖性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 解对初值的可微性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 微分方程的发展史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
第二章 初等积分法33
2.1 变量可分离方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 变量可分离方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 可化为变量可分离方程的类型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 线性微分方程与常数变易法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 非齐次线性微分方程的通解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 伯努利微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 全微分方程与积分因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 全微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 积分因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 隐式微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 参数法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 参数法的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 可降阶的高阶微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 应用实例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
第三章 线性微分方程组57
3.1 线性微分方程组的一般理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 一阶齐次线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 一阶非齐次线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 常系数线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 利用若尔当标准型求基解矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 矩阵指数方法*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第四章 高阶线性微分方程75
4.1 高阶线性微分方程的一般理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 高阶齐次线性微分方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 特征根是单根的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 特征根有重根的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 高阶非齐次线性微分方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 非齐次项?? 1??o = ????1??oe???? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2 非齐次项?? 1??o = ?????1??o cos ???? ? ???? 1??o sin ?????e???? . . . . . . . . . 83
4.4 拉普拉斯变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 高阶线性微分方程的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1 机械振动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.2 ?????? 电路. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
第五章 定性和稳定性理论简介91
5.1 稳定性概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 李雅普诺夫第二方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 平面自治系统的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 相平面、相轨线与相图. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 平面自治系统的三个基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.3 常点、奇点与闭轨. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 平面定性理论简介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.1 初等奇点附近的轨线分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.2 平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布. . . . . . . . . . . . . 114
5.4.3 极限环的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.4 极限环的存在性和不存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
第六章 偏微分方程121
6.1 偏微分方程的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.1 一般概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 偏微分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 一阶偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 完全积分、一般积分和奇异积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 几类特殊的一阶偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.3 一阶拟线性偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.4 一阶偏微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132