常微分方程是数学专业的专业必修课之一，主要包括一阶微分方程的初等解法、分离变量与变量替换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程、隐式微分方程解的参数表示、一阶微分方程解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组等内容。本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到不同类型的方程的求解方法和理论，内容安排循序渐进，逻辑清晰严谨。同时，书稿注重理论与实践相结合，通过丰富的例题和解析，帮助读者更好地理解和掌握常微分方程的应用。此外，本书还介绍了许多前沿的研究领域和实际应用案例，有助于激发读者的学习兴趣和创新思维。

杨云雁，中国人民大学数学学院教授、博士生导师。研究方向：基础数学，长期从事教学和科研工作，发表过多篇有代表性的论文。

第 1 章 绪 论
1.1 一阶常微分方程
1.2 常微分方程组和高阶常微分方程

第 2 章 一阶微分方程的初等解法
2.1 分离变量法
2.1.1 变量分离方程
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
2.2 常数变易法
2.3 恰当微分方程
2.3.1 恰当微分方程
2.3.2 积分因子
2.4 隐式微分方程
2.4.1 可以解出 x 或 t 的方程
2.4.2 不显含 x 或 t 的方程

第 3 章 解的存在唯一性定理
3.1 存在唯一性定理
3.2 解的延拓定理
3.3 解的最大存在区间估计
3.4 解对初值的连续可微性
3.4.1 解对初值的连续性
3.4.2 解对初值的可微性

第 4 章 高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 解的存在唯一性定理
4.1.2 线性齐次微分方程解空间的结构
4.1.3 线性非齐次微分方程解空间的结构
4.1.4 常数变易法
4.2 常系数线性微分方程
4.2.1 微分方程的复值解
4.2.2 常系数线性齐次微分方程
4.3 常系数线性非齐次微分方程的解法
4.3.1 比较系数法
4.3.2 拉普拉斯变换法
4.4 一般高阶微分方程的若干解法
4.4.1 可降阶的方程类型
4.4.2 幂级数解法

第 5 章 线性微分方程组
5.1 解的存在唯一性
5.1.1 高阶微分方程转化为微分方程组
5.1.2 存在唯一性定理
5.2 线性微分方程组的一般理论
5.2.1 线性齐次微分方程组
5.2.2 线性非齐次微分方程组
5.3 常系数线性微分方程组
5.3.1 矩阵指数与基解矩阵
5.3.2 特征根法
5.3.3 拉普拉斯变换法

第 6 章 微分方程组解的稳定性
6.1 李雅普诺夫稳定性的概念
6.2 李雅普诺夫稳定性的判别法
6.2.1 线性齐次微分方程组零解的稳定性
6.2.2 非线性微分方程组零解的稳定性
6.3 李雅普诺夫第二方法
6.3.1 自治微分方程组的李雅普诺夫第二方法
6.3.2 非自治微分方程组的李雅普诺夫第二方法

参考文献