《数学哲学讲义》是基于哈姆金斯教授在牛津大学开设的数学哲学课程整理而成的数学哲学教材与科普读物。哈姆金斯教授以其清晰、引人入胜的写作风格，带领读者探索数学哲学中的核心议题。 传统的数学哲学教材或著作主要偏重于梳理数学哲学史或探讨数学对哲学的影响，哈姆金斯的《数学哲学讲义》则是另一种风格：以数学为基础、以数学探究或数学实践为线索来理解数学哲学。哈姆金斯在数学的语境中探讨柏拉图主义、实在论、逻辑主义、结构主义、形式主义、直觉主义、类型论主义及其他哲学立场，全书围绕数论基础、严格性、非欧几何、证明、可计算性、不完备性、集合论等数学主题展开，结合大量数学实例来探讨相关哲学问题，实现了数学深度与哲学思辨的平衡。

与通常的数学哲学教材不同，作为一名受过良好哲学训练的真正的数学家，作者在本书中并没有简单地罗列各种哲学立场，而是从具体数学实践中出现的困惑出发，通过启发性的对话，巧妙地引入复杂的哲学概念，并结合具体的数学实例进行分析。这种写作编排让没有深厚哲学背景的读者也能轻松理解并沉浸其中。本书适合所有对数学基础、数学的确定性以及数学知识的本质抱有好奇心的人。无论数学专业的学生、研究者，还是仅仅对哲学思辨感兴趣的普通读者，都能从中获得宝贵的知识和全新的视角。杨睿之 （复旦大学哲学学院副教授）
即使是熟悉这些数学话题的读者也会发现，哈姆金斯的哲学论述能够激发思考且富有启迪。行文采用引人入胜的对话体风格，配以大量精绘插图。这部著作堪称别开生面且富有趣味的入门指南，适合广大读者群体研读。
《美国数学会通讯》（Notices of the American Mathematical Society） 这是一本引人入胜的数学哲学导论，书中用无需太多背景知识也能理解的数学实例阐释了数学中产生的哲学命题。作者哈姆金斯既是杰出的集合论学者，又具有深厚的哲学素养，还拥有非常出色的阐述能力。全书行文流畅易读，对诸多论题都有独到见解。本人极力推荐。 哈特里·菲尔德 （Hartry Field，Silver Professor of Philosophy New York university）

哲学难题在数学中无处不在，从数学本体论的基本问题数是什么？无穷是什么？到关于真、证明和意义之间关系的问题。几何论证中的图形扮演什么角色？存在我们无法构造的数学对象吗？每个数学问题原则上都可以通过计算来解决吗？数学中的每条真理都有原因吗？每条数学真理都可以被证明吗？
这本书是对数学哲学的一个导论，我们将考虑所有这些以及更多其他问题。我从数学来到这一学科，并在这本书中努力寻求一种新的方法来理解数学哲学一种以数学为基础、以数学探究或数学实践为动机的方法。我努力将哲学问题视为在数学中自然产生的问题。因此，我按照数学主题，如数、无穷、几何和可计算性，组织这本书，并将一些数学论证和初等证明也纳入书中，只要它们有助于澄清相关哲学问题。
柏拉图主义、实在论、逻辑主义、结构主义、形式主义、直觉主义、类型论主义以及其他一些哲学立场，自然地出现于各种各样的数学语境中。例如，从古代毕达哥拉斯学派的不可公度性和 2 的无理性，到刘维尔（Joseph Liouville）对超越数的构造，再到几何学中不可构造数的发现，数学的这种进展让我们有机会对比柏拉图主义与结构主义以及其他关于数和数学对象是什么的不同说明。结构主义起源于戴德金的算术范畴性定理，并从对实数和其他我们熟悉的数学结构的关于数和数学对象是什么的不同说明。结构主义起源于戴德金的算术范畴性定理，并从对实数和其他我们熟悉的数学结构的范畴性解释中汲取力量。微积分中严格性的提升，构成了一个天然的背景，在其中可以讨论数学在科学中的不可或缺性是否为数学真提供了依据。关于运动的芝诺悖论和关于无穷的伽利略悖论导致了康托-休谟原则，然后导致了弗雷格的数概念和康托关于超穷的工作。这样，数学主题跨越数千年，一次又一次地引发哲学思考。
因此，我的目的是呈现一种以数学为导向的数学哲学。多年前，佩内洛普 · 麦蒂（Penelope Maddy, 1991）批评当时数学哲学的某些部分不过是形而上学家之间的一场内部争吵，而且争吵的重点如果有的话究竟是什么，并不清楚。（p.158）

她试图将数学哲学重新聚焦于更接近数学的哲学问题：

我推荐的是一种亲自动手的数学哲学，一种切中现实实践的哲学，一种善解数学家自身的问题、程序和关切的哲学。（p.159）

我觉得这很鼓舞人心，我在这本书中的目标之一，就是遵循这些建议呈现一本数学家和哲学家都会感到切题的数学哲学导论。无论你是否同意麦蒂的严厉批评，数学哲学中确实存在很多有魅力的问题，我希望在本书中与你分享。我希望你会喜欢它们。
我在这本书中的另一个目标是，在一些对数学哲学至关重要的数学议题上，如数论基础、非欧几何、非标准分析、哥德尔不完全性定理和不可数性等，帮助读者提高一点数学素养。读者当然是从各种不同的数学背景进入这个主题，从初学者到专家，因此我尽量提供一些对每个人都有用的内容，总是由浅入深。例如，希尔伯特旅馆的寓言对于讨论康托关于可数和不可数无穷的结果，是一个易于理解的入门，而这一讨论最终通向大基数的主题。我在几个数学主题上设定了较高的目标，但也努力以轻松的方式处理它们，避免陷入复杂细节的泥潭。
本书内容曾作为我 2018 年、2019 年和 2020 年在牛津大学米迦勒学期所做数学哲学系列讲座的讲稿使用。我要感谢牛津数学哲学圈朋友们的广泛讨论，帮助我改进了本书。特别感谢丹尼尔 · 艾萨克森（Daniel Isaacson）、亚历克斯 · 帕索（Alex Paseau）、博 · 蒙特（Beau Mount）、蒂莫西 · 威廉姆森（Timothy Williamson）、沃克 · 哈尔巴赫（Volker Halbach），尤其是罗宾 · 索尔伯格（Robin Solberg），他对早期书稿提出了详细的意见。还要感谢纽约哥伦比亚大学的贾斯汀 · 克拉克-多恩（Justin ClarkeDoane）提出的意见，以及特蕾莎 · 卡卡尔迪（Theresa Carcaldi）在编辑方面的大量帮助。
这本书使用 LATEX 排版。除了第141页的图片属于公共领域外，我使用 LATEX 中的 TikZ 制作了书中所有其他图片，专为本书创作，有几张也用于我的另一本书《证明与数学的艺术》（Proof and the Art of Mathematics）（Hamkins，2020），该书由麻省理工学院出版社（MIT Press）出版。

作者：乔伊·大卫·哈姆金斯 (Joel David Hamkins)，美国圣母大学哲学系教授，曾任牛津大学哲学系逻辑学教授，纽约城市大学数学、哲学和计算机科学杰出教授。哈姆金斯既是数学家又是哲学家，研究领域为数理逻辑和哲学逻辑，重点关注关于无穷的数学和哲学，特别是集合论、集合论哲学以及关于潜在主义的数学和哲学。他是同时也是专业数学问答网站MathOverflow的高排名活跃用户。 译者：郝兆宽
复旦大学哲学学院教授，博士生导师。主要研究方向为数理逻辑、数学哲学、哥德尔思想。
高坤
北京大学哲学博士，现任教于山西大学科学技术哲学研究中心，主要从事逻辑与数学哲学方面的研究工作。
单芃舒
复旦大学逻辑学博士。

关于作者 xiii

第一章 数 1
第一节 数与数字 1
第二节 数系 3
第三节 不可公度数 5
第四节 柏拉图主义 8
第五节 逻辑主义 11
第六节 解释算术 19
第七节 数不能是什么 30
第八节 戴德金算术 34
第九节 数学归纳法 37
第十节 结构主义 42
第十一节 实数是什么？ 56
第十二节 超越数 65
第十三节 复数 67
第十四节 当代类型论 73
第十五节 其他数类 75
第十六节 哲学有什么意义？ 75
第十七节 说到最后，究竟什么是数？ 76
思考题 77
扩展阅读 80
致谢与出处 81

第二章 严格性 83
第一节 连续性 83
第二节 瞬时变化 89
第三节 概念词汇的扩大 92
第四节 最小上界原则 95
第五节 数学的不可或缺性 100
第六节 函数概念中的抽象化 105
第七节 再谈无穷小量 113
思考题 125
扩展阅读 128
致谢与出处 129

第三章 无穷 131
第一节 希尔伯特旅馆 131
第二节 可数集合 134
第三节 等数性 137
第四节 希尔伯特杯半程马拉松 140
第五节 不可数性 141
第六节 康托论超越数 146
第七节 论集合子集的数量 149
第八节 超越等数性：大小比较原则 158
第九节 什么是康托的连续统假设？ 163
第十节 超穷基数阿列夫序列和贝斯序列 165
第十一节 芝诺悖论 169
第十二节 如何计数 171
思考题 174
扩展阅读 178
致谢与出处 179

第四章 几何 181
第一节 几何构造 182
第二节 非规矩数 190
第三节 其他可选工具集 194
第四节 几何学的本体论 199
第五节 图示和图形的作用 200
第六节 非欧几何 212
第七节 欧几里得的错误？ 220
第八节 几何学与物理空间 223
第九节 庞加莱论几何的性质 225
第十节 塔斯基论几何的可判定性 226
思考题 228
扩展阅读 230
致谢与出处 231

第五章 证明 233
第一节 句法-语义之分 234
第二节 什么是证明？ 236
第三节 形式证明和证明论 252
第四节 自动化定理证明和证明验证 264
第五节 完全性定理 268
第六节 非经典逻辑 272
第七节 结论 281
思考题 281
扩展阅读 284
致谢与出处 285

第六章 可计算性 287
第一节 原始递归 288
第二节 图灵论可计算性 297
第三节 算力：层谱观和阈值观 308
第四节 丘奇-图灵论题 310
第五节 不可判定性 312
第六节 可计算的数 315
第七节 带信息源的计算和图灵度 318
第八节 计算复杂度理论 320
思考题 329
扩展阅读 333

第七章 不完全性 335
第一节 希尔伯特计划 337
第二节 第一不完全性定理 341
第三节 第二不完全性定理 353
第四节 哥德尔-罗瑟不完全性定理 357
第五节 塔斯基的真之不可定义定理 359
第六节 费弗曼理论 360
第七节 无处不在的独立性 361
第八节 反推数学 363
第九节 古德斯坦定理 367
第十节 勒布定理 371
第十一节 两种不可判定性 373
思考题 374
扩展阅读 377

第八章 集合论 379
第一节 康托-本迪克森定理 380
第二节 作为数学基础的集合论 383
第三节 普遍概括原理 388
第四节 层垒的谱系 393
第五节 分离公理 396
第六节 外延性 400
第七节 替换公理 402
第八节 选择公理与良序定理 406
第九节 大基数 412
第十节 连续统假设 422
第十一节 单宇宙观 424
第十二节 新公理的标准 427
第十三节 数学需要新公理吗？ 432
第十四节 多宇宙观 437
思考题 443
扩展阅读 446
致谢与出处 447

参考文献 449 术语索引 461
主题索引 463
译后记 487