本书是一本微分流形和现代几何的入门教材。它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。本书前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章为进阶内容，分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。本书内容丰富、语言简洁，书中含有详细的例子和习题。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读本书。

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目录
第二版前言
第一版前言
第1章 微分流形 1
§1.1 流形的定义和例子 1
§1.2 子流形8
§1.3 单位分解 16
§1.4 切空间和切映射 25
§1.5 Sard定理及应用33
§1.6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微积分 47
§2.1 切丛和切向量场 47
§2.2 可积性定理及应用 56
§2.3 向量丛和纤维丛 63
§2.4 张量丛.70
§2.5 微分形式 76
§2.6 带边流形 88
§2.7 Stokes积分公式 91
第3章 流形的几何 99
§3.1 度量回顾 99
§3.2 联络105
§3.3 曲率113
§3.4 联络和曲率的计算 120
§3.4.1 活动标架法 121
§3.4.2 正规坐标 126
§3.5 子流形几何 130
§3.5.1 第二基本形式 130
§3.5.2 活动标架法 132
§3.5.3 极小子流形 134
§3.5.4 黎曼淹没 141
§3.6 齐性空间 145
§3.6.1 Lie 群和不变度量 145
§3.6.2 齐性空间 148
§3.6.3 对称空间 151
§3.7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
§3.7.1 向量场的指标 158
§3.7.2 单位球丛上的计算 161
§3.8 Chern-Weil理论167
§3.9 主丛简介 176
§3.9.1 主丛上的联络和曲率 176
§3.9.2 主丛上的Chern-Weil理论 183
第4章 流形的上同调 189
§4.1 de Rham 上同调回顾 189
§4.2 映射度回顾 195
§4.3 de Rham上同调群的计算.204
§4.3.1 群作用与上同调 204
§4.3.2 Mayer-Vietoris正合序列 210
§4.4 Thom 类和相交数 217
§4.4.1 Thom类 217
§4.4.2 相交数 222
§4.5 Hodge理论.227
§4.5.1 Hodge星算子 228
§4.5.2 Bochner技巧 233
§4.6 Dirac 算子 240
§4.6.1 Clifford代数 240
§4.6.2 Clifford丛 249
第5章 流形上的椭圆算子 256
§5.1 Sobolev空间 256
§5.2 Hodge定理的证明 262
§5.3 热方程与热核 270
§5.4 迹与指标公式 281
§5.5 指标公式的证明 288
§5.5.1 Dirac算子的指标公式 288
§5.5.2 谐振子 293
§5.5.3 Atiyah-Singer指标公式 296
参考文献 302
索引 304