前言

文艺复兴时期最伟大的科学成就是人类学会了如何解三次和四次方程。“遇到问题，就解决问题（solve problems）”似乎是无须论证的自然公理。因此，数学在那个时代是一门侧重“计算”的学科，即：计算出结果。但是，在试图求解五次方程时各路数学大神皆铩羽而归。塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里试图用传统的以根用系数的代数式求解却始终行不通。拉格朗日是其中最为著名的学者，拉格朗日发现三次方程问题可以化为二次方程问题，四次方程问题可以化为三次问题，他以为五次方程问题也可以化为四次方程问题，结果化成了六次方程问题，他隐约发觉五次方程或者以上可能无解。天才数学家欧拉也尝试寻找五次方程的解，但也无功而返。在五次方程求解的过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学。从人类找到四次方程的解后的好几百年间，没有一个人找到一般的五次多项式根的表达式。

五次方程的解最终在19世纪初由英年早逝的阿贝尔确立，后来另外一位英年早逝的法国数学天才伽罗瓦阿贝尔于26岁去世，而伽罗瓦于21岁去世。系统地建立了现代群论的思想，在构建了一个完整的理论大厦后得出结论（本质上是给出了完美的解释）——五次方程不可解。也就是说，几百年的研究毫无进展，最终“五次方程的解”这个谜团是通过论证该问题的解不存在而告终的。那些试图求解五次方程耗尽一生心智已去世的数学家如果知道这样的结果，是否会感叹结局是如此的让人灰心丧气，又或者是感叹自己的盲目（忙于解题，而却没看题审题）。

“五次方程的不可解性”对数学家（乃至科学家）的世界观、哲学观及人生观的冲击是巨大的、也是前所未有的。数学家（乃至科学家）深刻地认识到：不是所有的“问题”都有解，不是所有的复杂问题都可以化成简单问题，然后逐个击破，一个个地解答，进而最终攻克。于是数学家和科学家开始严肃思考哲学问题，即：什么是“好”的问题？“问题”会不会不是“问题”？因为有些“问题”本质上可能根本不是问题，有些“问题”本身就没有意义，又或者问题本身就毫无意义。

数学更不应该是简单的“遇到问题，就解决问题”。人类如果遇到问题，不是审视问题，而是马上开始着手解决问题，可能就会重蹈“五次元方程无解”的覆辙，浪费的将是无数科研人员的心智、时间（也就是生命），最终徒劳无功。用东方人的哲学解读，即是要避免“缘木求鱼”“南辕北辙”。

于是数学家汲取了“五次方程的不可解性”的教训后，开始从原来的重视“算（calculate）”变为重视“分析（analysis）”。这就是为何在当代高等数学教育体系中有如此多的分析课程的原因，比如：从入门级的数学分析开始，再到后来的实分析、复分析和泛函分析。数学家开始琢磨什么是“好”的问题，用数学语言就是：解所处空间应该具有良好的性质。泛函分析就是专门研究“空间”的数学分析学科。在“五次方程的不可解性”之后的数学研究，乃至现代科学都极度重视“问题”所处的“空间”。要找到我们想要的“答案”，我们首先要论证答案一定会出现在我们研究的“问题的空间”里，否则（用人类的语言陈述即是）“你的答案不在你的问题里”“你的问题本身不是一个问题”，也就是说“你研究的问题本身就不是一个好的问题”。写数学史的学者往往如此归纳“五次方程的不可解性”的贡献：在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论，因为现代群论的诞生，使得“分析”成为数学研究的主流，告别了仅关注“算”的时代，开启了现代数学的崭新纪元。

“五次方程的不可解性”本质上其实是一种哲学思想，它正影响着社会生活的方方面面，改变着我们思考问题、看待世界的方式。“五次方程的不可解性”中所蕴含的哲学观点常常出现在广播电视、商业杂志、励志图书以及一些学校的校训中，比如有的图书的书名即为《好问题的力量》；在商业杂志中，职场经验类的文章常指导职场新人学会如何提升自己问对问题的能力；而励志图书中，总是出现 “提出好问题，比急于解决（别人）提出的问题更重要”“提出好的问题，比回答问题更重要”等箴言。有些学校甚至将“问对问题，你才能改变世界”作为校训。由此可见，“五次方程的不可解性”的哲学思想对当今社会影响深远。

本专著主要是研究“企业异质性理论”。作为一个严谨和严肃的研究，在开始本书之前，本人希望用“五次方程的不可解性”的典故引起读者的注意，即：研究此问题的意义何在以及此研究选题是否是一个“好的”问题。毕竟，本书“乍一看”是一本“充斥着”数理模型的专著。

目前学界普遍的共识是：自哈佛大学的马克·梅里兹（Marc Melitz）也有学者将Melitz翻译为梅里茨、莫里兹、莫里茨、梅理茨、莫理兹、莫理茨、默里兹。Melitz教授的中文名翻译没有统一，本人认为无论怎么翻译都是对Melitz教授的一种不尊重，基于这样的考虑，在本专著中，不对教授的名字做翻译。此外也借此申明本书的一个原则：本书尽量不对学者的原名妄做翻译，除非该学者的中文名已在学界得到共识或得到国外学者本人的认可。教授在2003年发表了关于企业生产率异质性的论文以来，就将国际贸易学研究带入了一个全新的时代，这就是后来的“新新贸易理论”。“异质性”，尤其是“企业异质性”研究成为过去17年国际贸易学、开放经济学研究的热点。如果将经济学的各个学科视为不同的“国度”，在经济学的另一个“国度”——宏观经济学的世界里，却是完全另外一番景象：也是在2003年，Smets和Wouters（2003）开创性地利用新凯恩斯主义思想建立了一个接近30个方程的全局随机动态模型，即后来的动态随机一般均衡模型（dynamic stochastic general equilibrium, DSGE）。其后DSGE理论在宏观经济学大行其道，但是2007—2008年全球爆发金融危机，DSGE理论对危机的预见性备受诟病，一种观点认为，DSGE理论是离散时间模型。2013年前后，Benjamin MollBenjamin Moll团队中除了有菲尔兹奖得主Pierre-Louis Lions坐镇外，还有纽约大学的著名学者Xavier Gabaix教授，该学者长期关注幂律（power laws）在经济与金融领域的应用，是该领域的顶级学者。幂律与异质性研究之间有紧密联系，Marc Melitz教授的企业生产率异质性假说的基础便是认为企业的生产率满足幂律分布。本书中有时也提及Xavier Gabaix研究团队，但其实际是指Benjamin Moll团队。Xavier Gabaix成名久矣，直到2016年11月，Benjamin Moll，Pierre-Louis Lions和Xavier Gabaix以及另外两位学者（一位出现在正文中，一位出现在他们论文附录的G部分中）在顶级计量经济学期刊Econometrica上合作发表了一篇关于个人财富异质性研究的文章，即《不平等的动态性》（或翻译为《动态不平等理论》），该论文是一篇极富学术价值的文章。Benjamin Moll和Pierre-Louis Lions等人的最大理论贡献是将平均场博弈（mean field game theory）引入宏观分析当中，简单来说，平均场博弈理论涉及两个偏微分方程——Hamilton-Jacob-Bellman方程和Fokker-Planck方程。而Xavier Gabiax的研究工具主要是利用Fokker-Planck方程，本书主要是立足于Fokker-Planck方程。

本书对平均场博弈

等人提出了“异质性”模型的概念，Moll等人将他们提出的“异质性”宏观模型称为“第三代宏观经济学模型”。其潜台词是：DSGE模型属于第二代宏观经济学模型。在他们一系列的论文中论述了异质性为何是必须的，以及第二代宏观经济学模型的主要弊端。此外，在2016年，宏观经济学研究还发生了一件大事，即2016年克拉克奖颁发给了普林斯顿大学经济系教授Yuliy Sannikov，以表彰其在连续时间模型领域的巨大理论贡献。而Moll等人的研究也是基于连续时间模型的，于是2016年后，宏观经济学研究开始回归连续时间模型，并开始将异质性作为一个必不可少的元素嵌入宏观经济学研究中。

但是，目前的经济学研究面临几个亟待解决的“大”问题：第一，以Marc Melitz为代表的“新新贸易理论”所涉及的“异质性”概念和宏观经济学领域的“异质性”是否是一回事？目前没有学术文献专门探讨这一问题。两个经济学“国度”几乎没有互相引用彼此的文献。第二，Moll所谓的“第三代宏观经济学”模型的实质是什么？菲尔兹奖是数学最高奖，Moll的团队中有诸如菲尔兹奖得主Pierre-Louis Lions教授坐镇，因此“第三代宏观经济学”理论异常晦涩，对一般的经济学家而言，学习曲线异常陡峭。从萨金特（Thomas Sargent①）教授的《递归宏观经济理论》开始流行，宏观经济学研究一直都是“离散时间”模型和理论的时代。直到Yuliy Sannikov教授

②在2016年获得克拉克奖，才令连续随机模型重回宏观研究视野。需要注意的是，Yuliy Sannikov教授在中学时代曾三次获得国际理论仅做了简单的介绍，没有以平均场博弈理论视角展开整个异质性理论的讨论。本书会在第三章第六小节详细阐述平均场博弈理论为何应是异质性研究的终极思考框架。此外，需要注意的是，Pierre-Louis Lions是平均场博弈理论的创始人（之一）。平均场博弈理论是在2006—2007年，由加拿大McGill大学的自动控制系教授Peter Caines团队（Caines, P. et al, 2006）和法国Pierre-Louis Lions分别独立创立的。加拿大McGill大学的Peter Caines教授创立平均场博弈理论原本是试图解决一个无线通信领域的信号资源分配问题。本人曾于2016年邀请Peter Caines教授团队的黄民懿教授来首都经济贸易大学金融学院做了关于平均场博弈理论的讲座。黄民懿教授也是平均场博弈理论的创始人之一，他曾和本人在加拿大McGill大学的CIM实验室一起工作过多年（2004—2007年）。

①作为2011年诺贝尔经济学奖获得者，西方宏观经济学研究的泰斗级人物，萨金特一直是理性预期学派的领袖人物，为新古典宏观经济学体系的建立和发展做出了杰出贡献，萨金特的研究长期聚焦于宏观经济、国际经济、数量金融等领域，此外萨金特教授还关注人工智能和大数据在经济与金融分析预测中的作用。

②Yuliy Sannikov教授还在2015年获得了金融领域的重要奖项——Fischer Black奖。

数学奥林匹克（IMO）竞赛金牌，属于数学领域的天才型选手。

这也引出了第三个问题，即中国理论经济学未来发展的路线问题。目前西方宏观经济学研究的理论前沿是探讨如何进一步将经济学原理与数理模型深度融合，并且有“提升维度”的态势。这和目前国内倡导的“去数理”经济学研究理念有较大冲突。第四，Marc Melitz也曾尝试过将新新贸易理论与DSGE模型相融合，但是如前面所述，DSGE是一种离散模型。DSGE模型，也就是第二宏观经济学模型和第三代宏观经济学模型的“冲突”又在哪里？

当下，在国内宏观经济研究和国际贸易领域的研究中，有非常多的问题亟待梳理和回答，但首先应该回答刚才提到的五个问题。这就是本书的主要目的。也只有在回答清楚这些基本问题后，读者（或者科研人员）才会更深入地思考一些科研的本质问题，比如：当下西方经济学的“路数”（即他们孜孜以求的方向）是否值得中国科研人员继续努力跟进，如果跟进，又需要哪些数学工具；如果无须跟进，那么中国社会科学研究人员的“初心”又是什么？“好的科研”又该是什么？相信读完本书，会给读者带来一些启发，本书将起抛砖引玉的作用。

简而言之，本书的选题是一个非常有意义的问题，而且是一个“好”的研究问题。

目录

第一章导论

第一节研究问题的背景

第二节研究问题的提出

第三节本书的研究框架

第四节本书的主要特点

第二章新新贸易理论与企业异质性

第一节新新贸易理论概述

第二节新新贸易理论以及相关国际贸易前沿问题综述

第三节现有理论和研究成果的简要评述

第四节新新贸易理论的基本原理与企业异质性评述

第五节本章总结

第三章企业异质性问题的动态研究

第一节导论

第二节方程视角与概率分布视角的建模思想

第三节基于概率分布视角的异质性理论的本质

第四节动态企业异质性建模简介

第五节企业动态效应研究概述

第六节平均场博弈理论概述

第七节Gabaix模型的基本理论设定

第八节动态不平等模型的设定

第九节MSS的建模思想

第十节本章总结

第四章新新贸易理论视角下的DSGE宏观模型

第一节动态随机一般均衡理论概述

第二节动态随机一般均衡的经济学思想发展回顾

第三节DSGE理论发展与经济数学化问题思考

第四节新新贸易理论视角下BGM2007的拓展

第五节新新贸易理论视角下GM2005的拓展

第六节总结及讨论

第五章理解企业异质性理论所需数学工具汇总

第一节本章存在的必要性

第二节帕累托分布

第三节布朗运动

第四节泊松过程与复合泊松过程

第五节跳跃过程与随机微分方程

第六节偏微分方程基本概念

第七节首达过程

第八节停时过程的基础概念和事实

第九节Chapman-Kolmogorov方程的微分形式

第十节扩展阅读

第十一节本章小结

第六章总结

附录经济学原理汇总

参考文献

后记