本书引入并诠释了“教育数学”这一新学科的全新概念，探讨了 “教育数学”的思想源头与内涵．提出了走进教育数学，可从教材数学、 竞赛数学、测评数学、文化数学四个方面进入，并依次介绍了其研究的 三、四、五、六个着眼点．为教育优化数学，本书从整合创新、返璞归真 着手，介绍了一些优化数学的方法和手段：基本概念的重新定义、体系结 构的恰当调整、思想方法的归结提升、切换透视的灵活处置、移植拓广的 适时运用、陈述呈现的方式改变、对称性考虑、充要性探究、求简性追 求、寻找本质、揭示联结、演绎深化、发掘中巧等．全书还介绍了作者创 新改造的大量案件及对中学数学研究的大量成果．

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　沈文选，男，1948年生。湖南师范大学数学与计算机科学学院教授、硕士生导师，湖南师范大学数学奥林匹克研究所所长，中国数学奥林匹克高级教练，湖南数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者（湖南中学生已获得IH0金牌10块，银牌2块）。已出版《竞赛数学教程》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的组合问题》等数学竞赛著作10余部，在《数学教育学报》等杂志上发表《奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育》、《奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨》等数学竞赛论文40余篇。多年来为全国初、高中数学联赛，数学冬令营提供试题20余道，是1997年全国高中数学联赛、2002年全国初中数学联赛、2003年第18届数学冬令营等命题组成员。长期从事数学奥林匹克教育研究、中学数学教育研究、初等数学研究，并出版学术著作近20部，发表论文200余篇。任全国初等数学研究协调组成员、全国高师教育研究会常务理事、全国教育数学研究会常务理事、《数学教育学报》编委、湖南省高校数学教育研究会理事长、湖南省数学会中学数学专业委员会副主任。

总序 第二版前言 第一版前言 第1章 四大群落的数学宫殿1 1.1 从《0的争论》到0的宏论1 1.2 从数学基础到基础数学4 1.3 从数学计算到计算数学6 1.4 从数学应用到应用数学10 1.5 从数学教育到教育数学14 第 2章 正在兴建的教育数学群落殿22 2.1 教育数学讲优化,整合？返璞来诠释22 2.2 教育数学寻根由,历史？现实可溯源29 2.3 教育数学有特征,发掘“五性”成美谈35 2.4 教育数学探标准,“四更”择优作指南38 第 3章 教育数学群落殿的四大殿堂43 3.1 数学教材用得俏,教材数学显精明43 3.2 数学竞赛开展好,竞赛数学是功臣52 3.3 数学测评时常有,测评数学主公信69 3.4 数学文化要多彩,文化数学为后盾94 第 4章 新殿堂的建筑技术掇拾105 4.1 基本概念的重新定义105 4.2 体系结构的恰当调整107 4.3 思想方法的归结提升109 4.4 切换？透视的灵活处置117 4.5 移植？拓广的适时运用120 4.6 陈述？呈现的方式改变136 4.7 对称性考虑142 4.8 充要性探究145 4.9 求简性追求151 4.10 寻找本质154 4.11 揭示联结162 4.12 演绎深化173 4.13 发掘中巧180 参考文献214

　数学是人类最古老的精神文明之一。原始部落的人们每天都离不开数与量的活动：氏族部落的成员经常发生变化，增多或减少；每次瓣归来。需计算猎物的多少，分配食物需将食物数量和部落成员加以比较。由于大江大河经常洪水泛滥，洪水退去后，人们需重新丈量土地。修建住所、堤坝和一些建筑，需计算各种图形的面积及物体的体积，从而渐渐地认识一些正整数和简单的几何图形。人类对自然界，乃至宇宙的认识，自始至终都是和数学联系在一起的。人类对自身的认识与教育，也是与数学分不开的。从古以来，人们受教育的最低要求就是“能写、会算”，这“算”就是数学。进入20世纪以后，全世界的基础教育都是以母语和数学为两门最重要的课程来开设的。因此，数学是人类生存的需要、教育的主体。也就是说，在人们的生活、学习、工作中都要具备一定量的数学基础知识，并随着时代的前进，这种数学基础知识也越来越宽广，越来越厚实。
　　数学的这种基础地位，也就决定了人们对数学的学习与研究的重视程度，因而人们为此投入了巨大的热情和艰苦的奋斗。今天，宽广、厚实的基础数学就是人类智慧与热情的结晶。
　　基础数学又分为公众基础数学与专业基础数学。公众基础数学内容将在教育数学中的教材数学、文化数学等章节中介绍，在此主要介绍一点专业基础数学的有关内容。
　　专业基础数学中，又有纯粹数学、核心数学等的称呼。
　　纯粹数学主要包括代数与数论、几何与拓扑、分析学等几大部分。核心数学是指纯粹数学的核心。
　　数学是一个整体，一些最有价值的数学问题、具有重大发展潜力的数学基础理论和方法构成一个时期的“核心数学”（蒋文蔚，1993）。从19世纪的数学来看，复数理论因负数开方引起，伽罗瓦的群论来源于方程的根式解，罗巴切夫斯基的非欧几何学起始于对欧氏几何的第五公设的研究，而数学分析的严密化进程则源于无限小量之比的不确定性。这些数学内部提出的问题深刻地反映了客观世界的数量关系，揭示了丰富的数学内涵。另外，许多应用性问题，也成了核心数学的重大分支，例如，傅里叶从热传导提出的三角级数展开。傅里叶分析、傅里叶变换、傅里叶算子、群上调和分析、非交换调和分析，其影响至今不衰，始终是核心数学的重要组成部分。在20世纪的上半叶，相对论和量子力学诞生，与之相应的黎曼几何、李群和泛函分析也属于那时的核心数学范围。传统的函数论、数论等基本的数学工具。仍然是那时核心数学的一部分。此时，组合拓扑学，以一般理想论为代表的抽象代数等，虽然并不和数学内部需要相联系，却以旺盛的生命力迅速发展。也构成核心数学的中坚。另一方面，盛极一时的射影几何学、特殊函数论、方程式论、四元数解析等学科虽然是纯粹数学，但渐渐淡出核心数学的范围。到了20世纪下半叶，电子计算机的出现导致数理逻辑、逼近论等学科的发展，与此同时，微分几何学受到拓扑学的影响产生了整体微分几何，又和规范场论等数学物理课题相结合，从非主流数学进入主流数学。微分方程求解历来是核心数学的重要部分，流形上的分析、多元复分析、动力系统、指标定理等成为世人关注的数学课题，完全受数学内部需要而发展的代数数论、代数几何，更以费马大定理的证明而达到高潮。面向21世纪，基础数学的发展将会更快。非线性数学问题、离散数学问题、解析数论、代数数论、代数几何、群与代数及表示理论、流形与变形拓扑学、整体微分几何、随机分析和无穷维分析以及应用数学、计算数学的基础理论等都将有更大发展。
　　核心数学的重大进展和其成果的实际应用都是难以预计的。核心数学课题一旦有所突破，常常会产生不可估量的影响。如伽罗瓦提出的群论，源于代数，后来扩展到几何变换群、拓扑学中的同伦群和同调群、微分方程中的李群、有限群和典型群、物理学中的对称群、规范群，其覆盖面几乎是整个数学。至于群论直接用于密码编制，成为一种特殊的数学技术，更是始料不及了。
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