本教材面向高等学校理工科专业的学生。计算方法及MWORKS应用旨在为读者提供计算方法理论与MWORKS实践并重的学习资源，帮助读者掌握数值计算的基本原理及其在实际问题中的应用。本书围绕计算方法的知识和MWORKS仿真的主要环节展开，共7章。第1章为绪论，主要介绍数值计算方法的基本概念、误差的基本理论、数值计算方法设计的若干原则，以及MWORKS软件简介。第2章为非线性方程求根，主要介绍求解非线性方程的迭代法及其理论，以及MWORKS在其中的应用。第3章为解线性方程组的直接法，主要介绍线性方程组的解法，包括高斯消元法及其变种、矩阵分解法（LU分解、追赶法）和范数理论，以及MWORKS在其中的应用。第4章为解线性方程组的迭代法，主要介绍解线性方程组的迭代法，内容涵盖迭代法的一般理论、经典迭代法及其收敛性分析，还介绍了MWORKS在相关问题中的应用。第5章为插值法与最小二乘拟合，主要介绍插值法与最小二乘拟合，以及MWORKS的相关应用。第6章为数值微分和数值积分，主要介绍数值微分和数值积分，以及MWORKS在其中的应用。第7章为常微分方程的数值解法，主要介绍常微分方程的数值解法及MWORKS方法在其中的应用。

张富臣，宁夏大学机械工程学院讲师，工学博士。主讲工程数值计算、机械工程测试等课程，参加国家级项目2项，主持省级项目3 项，发表学术论文 20 余篇，参编教材 1 部。长期深耕 MWORKS 数值计算、工程仿真与测试信号程序处理领域，自主研发多款教学仿真程序与测试分析算法软件，指导学生完成多套程序开发，累计取得计算机软件著作权 30 余项，多项成果落地应用于课堂教学与工业实测场景。

第1章　绪论 1
1.1 数值计算方法的基本概念 2
1.1.1 数值计算方法的研究内容 2
1.1.2 科学计算的一般过程 3
1.2 误差的基本理论 4
1.2.1 误差的来源 4
1.2.2 绝对误差和相对误差 5
1.2.3 近似数的有效数字 6
1.3 数值计算方法设计的若干原则 7
1.4 MWORKS软件简介 11
1.4.1 MWORKS设计与验证 11
1.4.2 MWORKS产品体系 13
本章小结 14
习题1 15
第2章　非线性方程求根 17
2.1 初始近似值的搜索 18
2.1.1 方程的根 18
2.1.2 逐步搜索法 18
2.1.3 二分法 19
2.2 迭代法 21
2.2.1 简单迭代法 21
2.2.2 迭代法的几何意义 21
2.2.3 迭代法收敛的充分条件 21
2.3 牛顿迭代法与弦割法 23
2.3.1 牛顿迭代公式及其几何意义 23
2.3.2 牛顿迭代法收敛的充分条件 24
2.3.3 弦割法 25
2.4 非线性方程组求根 25
2.4.1 非线性方程组牛顿迭代法求根 25
2.4.2 局部收敛与迭代法的收敛阶 26
2.4.3 加速收敛方法 27
2.5 MWORKS在非线性方程求根中的应用 29
本章小结 31
习题2 32
第3章　解线性方程组的直接法 34
3.1 引言 35
3.1.1 向量和矩阵 35
3.1.2 矩阵的特征值与谱半径 37
3.1.3 特殊矩阵 38
3.2 顺序高斯消元法 39
3.3 列主元高斯消元法 42
3.4 三对角线方程组追赶法 44
3.5 LU分解法与列主元LU分解法 46
3.5.1 LU分解法 46
3.5.2 LU分解的本质 49
3.5.3 列主元LU分解法 49
3.5.4 向量范数和矩阵范数 50
3.6 MWORKS在解线性方程组中的应用 53
本章小结 54
习题3 55
第4章　解线性方程组的迭代法 57
4.1 迭代法的一般理论 58
4.1.1 迭代公式的构造 58
4.1.2 迭代法的收敛性 58
4.2 三种经典迭代法 59
4.2.1 Jacobi迭代法 59
4.2.2 Gauss-Seidel迭代法 63
4.2.3 SOR迭代法 66
4.2.4 经典迭代法的收敛性 69
4.3 共轭梯度法 72
4.4 MWORKS在相关问题中的应用 77
本章小结 80
习题4 81
第5章　插值法与最小二乘拟合 83
5.1 插值法的基本理论 84
5.2 拉格朗日插值法 86
5.2.1 插值基函数 86
5.2.2 拉格朗日插值多项式 88
5.2.3 插值多项式的截断误差 89
5.3 牛顿插值法 93
5.3.1 差商及其性质 93
5.3.2 牛顿插值公式 94
5.4 分段插值与埃尔米特插值 95
5.4.1 高阶插值的龙格现象 95
5.4.2 分段线性插值 96
5.4.3 两点三次埃尔米特插值 97
5.4.4 分段三次埃尔米特插值 100
5.5 三次样条插值法 100
5.6 曲线拟合的最小二乘法 106
5.6.1 最小二乘问题 106
5.6.2 最小二乘拟合多项式 108
5.7 MWORKS的相关应用 111
5.7.1 MWORKS在数值插值中的应用 111
5.7.2 MWORKS在曲线拟合中的应用 114
本章小结 116
习题5 117
第6章　数值微分和数值积分 119
6.1 数值微分 120
6.1.1 差商近似微商 120
6.1.2 插值函数近似计算导数 122
6.2 数值积分 125
6.2.1 求积公式与代数精度 125
6.2.2 插值型求积公式 126
6.3 牛顿-柯特斯公式 127
6.3.1 牛顿-柯特斯系数及常用求积公式 127
6.3.2 误差估计 130
6.3.3 收敛性与稳定性 131
6.3.4 复化求积公式 132
6.4 龙贝格算法 134
6.4.1 变步长梯形求积算法 134
6.4.2 理查森外推算法 136
6.4.3 龙贝格算法的构建 137
6.5 高斯型求积公式 139
6.5.1 求积公式的最高代数精度 139
6.5.2 正交多项式 140
6.5.3 高斯型求积公式的一般理论 142
6.5.4 高斯-勒让德求积公式 144
6.6 MWORKS在数值微分与数值积分中的应用 146
本章小结 147
习题6 148
第7章　常微分方程的数值解法 150
7.1 基本概念 151
7.1.1 一阶常微分方程的初值问题 151
7.1.2 初值问题的数值解 151
7.2 欧拉法与改进欧拉法 152
7.2.1 欧拉法、后退欧拉法和梯形法 152
7.2.2 欧拉公式的局部截断误差与精度分析 154
7.2.3 改进欧拉法 156
7.3 龙格-库塔法 157
7.3.1 龙格-库塔法的构造原理 157
7.3.2 经典龙格-库塔法 158
7.3.3 步长的自动选择 161
7.4 收敛性与稳定性 161
7.4.1 收敛性 161
7.4.2 稳定性 162
7.5 一阶方程组与高阶方程初值问题的数值解法 162
7.5.1 一阶方程组初值问题的数值解法 162
7.5.2 高阶方程初值问题的数值解法 163
7.6 边值问题的数值解法 164
7.6.1 打靶法 164
7.6.2 有限差分法 164
7.7 MWOKS方法在常微分方程求解中的应用 165
7.7.1 MWOKS方法概述 165
7.7.2 MWOKS方法核心函数介绍 165
7.7.3 MWOKS方法求解常微分方程的实例分析 165
7.7.4 结果分析与讨论 166
7.7.5 MWOKS方法的拓展应用 167
本章小结 167
习题7 169