本书为高等院校数学类专业的教材。"数学分析选讲”是数学类专业最重要的基础课程"数学分析”的后续课程，可帮助学生进一步夯实数学分析基础以及为考研做准备。本书按专题选讲的形式编写，配有一定数量的典型练习题，内容包括极限、一元函数的连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、级数、多元微积分。本书由浅入深、重点突出，对提高数学分析水平和能力都有很大的帮助，可作为高等院校数学类及相关专业"数学分析选讲”课程的教材。

郑伟，男，1978年，讲师，硕士研究生学历。2003毕业于吉林大学数学学院并获得学士学位，2009年毕业于沈阳工业大学信息学院并获得硕士学位。2003年至今在沈阳工业大学理学院任教，主讲数学分析、高等数学、数学建模等本科课程，以及线性系统理论、统计学习等研究生课程，发表学术论文8篇，参与编写专著1部，参与国家自然基金2项目，参与省级项目2项，主持教改项目2项，指导本科生参加全国大学生数学竞赛，获得国家一等奖1项，国家二等奖1项，省级奖项10余项，指导本科生参加创新创业大赛，获得省级奖项1项。

目 录
第1章 极限 1
1.1 利用定义证明极限 2
1.2 利用单调有界准则证明极限 5
1.3 利用柯西准则证明极限 7
1.4 计算极限的几种方法 9
1.4.1 利用等价代换和初等变形 9
1.4.2 利用已知极限 11
1.4.3 利用变量替换 12
1.4.4 利用两边夹准则 12
1.4.5 利用Stolz公式 13
1.4.6 其他常用方法 15
1.5 递推形式的极限 20
1.5.1 利用单调有界准则 20
1.5.2 利用压缩映射原理 21
1.5.3 利用不动点方法 22
第2章 一元函数的连续性 24
2.1 连续性的证明与应用 25
2.1.1 连续性的证明 25
2.1.2 连续性的应用 28
2.2 一致连续 30
2.2.1 利用一致连续的定义及其否定形式 30
2.2.2 一致连续与连续性的关系 32
第3章 一元函数微分学 34
3.1 导数 35
3.1.1 导数的定义与可微性 35
3.1.2 高阶导数与莱布尼茨公式 36
3.2 微分中值定理 40
3.2.1 罗尔定理 40
3.2.2 拉格朗日中值定理 42
3.2.3 柯西中值定理 45
3.3 泰勒公式 47
3.3.1 证明中值公式 47
3.3.2 利用泰勒公式证明不等式 49
3.3.3 中值点的极限 51
3.4 不等式 53
3.4.1 利用单调性证明不等式 53
3.4.2 利用微分中值定理证明不等式 53
3.4.3 利用泰勒公式证明不等式 54
3.4.4 利用求极值的方法证明不等式 54
第4章 一元函数积分学 56
4.1 积分与极限 57
4.1.1 利用积分求极限 57
4.1.2 积分极限 58
4.2 定积分的可积性 62
4.2.1 利用定义证明可积性 63
4.2.2 利用定理证明可积性 64
4.3 积分不等式 68
4.3.1 利用微分学的方法证明积分不等式 68
4.3.2 利用被积函数的不等式证明积分不等式 68
4.3.3 利用泰勒公式证明积分不等式 69
4.3.4 利用Schwarz不等式证明积分不等式 69
4.4 反常积分 71
4.4.1 无穷限反常积分的收敛判别法 71
4.4.2 无界函数反常积分的收敛判别法 73
第5章 级数 76
5.1 任意常数项级数敛散性的判别方法 77
5.1.1 利用常数项级数收敛定义 77
5.1.2 利用常数项级数收敛的柯西准则 79
5.1.3 利用常数项级数收敛性质 82
5.2 正项级数敛散性的判别方法 85
5.2.1 利用正项级数一般项自身的性质 85
5.2.2 利用已有敛散结果 91
5.3 某些特殊类型的一般项级数敛散性的判别方法 99
5.3.1 针对交错级数的莱布尼茨判别法 99
5.3.2 针对某些特殊类型的一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 103
5.4 函数项级数一致收敛的判别方法 111
5.4.1 利用函数项级数一致收敛定义 111
5.4.2 利用函数项级数余项性质 112
5.4.3 利用函数项级数一致收敛的柯西准则 117
5.4.4 利用函数项级数一致收敛的优级数判别法 119
5.4.5 利用函数项级数一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 121
5.5 一致收敛的函数项级数的性质 126
5.6 幂级数 137
5.6.1 幂级数的收敛半径和收敛域 137
5.6.2 函数展开成幂级数 139
5.6.3 幂级数求和 140
第6章 多元微积分 143
6.1 多元函数的极限与连续性 144
6.1.1 重极限与累次极限 144
6.1.2 多元函数的连续性 146
6.2 多元函数的可微性 150
6.2.1 偏导数的计算 150
6.2.2 复合函数的可微性 151
6.2.3 多元函数可微性应用 152
6.2.4 对微分方程进行变量替换 153
6.2.5 隐函数 155
6.3 多元函数的极值与最值 157
6.3.1 无条件极值 157
6.3.2 条件极值 157
6.3.3 最值 158
6.4 含参变量积分 160
6.4.1 含参变量正常积分 160
6.4.2 含参变量反常积分 163
6.5 重积分 167
6.5.1 二重积分 167
6.5.2 三重积分 169
6.6 曲线积分与曲面积分 173
6.6.1 第一型曲线积分 173
6.6.2 第二型曲线积分与格林公式 174
6.6.3 第一型曲面积分 175
6.6.4 第二型曲面积分与高斯公式 177
6.6.5 斯托克斯公式 178
参考文献 180