本教材是在严格依照教育部高等院校课程教学要求，紧扣工科复变函数与积分变换教学大纲核心规范，紧密贴合学科发展趋势的前提下，在总结多年一线教学实践经验、沉淀教学成果的基础上精心编写而成。全书内容秉持“必需、够用”的核心原则，兼顾理论严密性，始终以培养工科学生核心数学素养、提升其运用数学理论解决工程实际问题的能力为核心目标，重点突出数学理论的工程应用性与实践指导性。 全书共设置八个教学章节，系统涵盖复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、复级数、留数及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等核心知识点，内容编排由浅入深、循序渐进，兼顾理论讲解与应用拓展. 建议整体教学学时为32-48 学时，授课教师可根据各专业教学实际灵活调整教学内容与进度。本书适配高等院校工科各类专业的教学需求，尤其适合自动控制、通信工程、电子信息、测控技术、机械工程、材料成型等对数学工具应用要求较高的专业选用。

姚卫，男，2008年毕业于北京理工大学，获理学博士学位，现为南京信息工程大学教授，博士生导师，数学与统计学院副院长。主要从事模糊集理论及应用的研究；曾入选河北省青年拔尖人才，江苏省双创人才，获2019年度河北省自然科学奖二等奖，获南京信息工程大学教学成果特等奖1项；主持国家自然科学基金项目5项，参与重点项目1项。 丁建，男，南京信息工程大学数学与统计学院副教授，常年从事代数学、复变函数等课程的教学工作。并从事学校公共课教学工作。 王智勇，男，南京信息工程大学数学与统计学院副教授，南京师范大学数学硕士、博士毕业。从事代数学、复变函数等课程公共课教学工作。

第1 章复数与复变函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 复数及其代数运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 复数的几何表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 复数的乘幂与方根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 平面点集与区域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 复变函数及其连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 扩展性阅读: 复数的诞生. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 习题一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 第2 章解析函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 复变函数的导数与微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 2.2 解析函数的概念和性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.3 复变量初等函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 扩展性阅读: 解析函数与多值复变函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 习题二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 第3 章复变函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1 复变函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 柯西积分定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 3.3 柯西积分公式和高阶导数公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 解析函数与调和函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 扩展性阅读: 复变函数的积分理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 习题三. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 第4 章复级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1 复数列与复级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 幂级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 泰勒级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 洛朗级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5 扩展性阅读: 洛朗级数的妙用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 习题四. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 第5 章留数及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1 孤立奇点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 留数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 留数在定积分计算中的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 扩展性阅读: 留数——积分留下的数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 习题五. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 第6 章共形映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1 共形映射的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 分式线性映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 6.3 一些初等函数构成的共形映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4 扩展性阅读: 共形映射的广泛应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 习题六. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 第7 章傅里叶变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 7.1 傅里叶变换的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 7.3 傅里叶变换的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.4 卷积与相关函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.5 傅里叶变换的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 习题七. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 第8 章拉普拉斯变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.1 拉普拉斯变换的定义与性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.2 拉普拉斯变换的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 拉普拉斯逆变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8.4 卷积与卷积定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.5 拉普拉斯变换的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 扩展阅读. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 习题八. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 附录1 傅里叶变换简表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 附录2 拉普拉斯变换简表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 参考答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178