矩阵半张量积是近二十年发展起来的一种新的矩阵理论。经典矩阵理论的最大弱点是其维数局限，这极大地限制了矩阵方法的应用。矩阵半张量积是经典矩阵理论的发展，克服了经典矩阵理论对维数的限制，因此，被称为跨越维数的矩阵理论。《矩阵半张量积讲义》的宗旨是对矩阵半张量积理论与应用做一个基础而全面的介绍。全书共六卷。卷一：基本理论与多线性运算；卷二：逻辑动态系统的分析与控制；卷三：有限博弈的矩阵半张量积方法；卷四：有限与泛维动态系统；卷五：工程及其他系统的应用；卷六：保维数矩阵半张量积与超矩阵。本丛书致力于对这个快速发展的学科分支做一个阶段性的小结，以期对其进一步发展及应用提供一个规范化的基础。
　　本书是这套丛书的第六卷，是原计划外的续卷。本卷内容分为三个部分：第一部分介绍保维数矩阵半张量积的基本性质，它引入了超群、超流形等全新的代数与几何概念；第二部分讨论超矩阵与超向量，以及矩阵半张量积与这些高阶数组的关系；第三部分介绍相关理论在系统分析、控制设计，以及信号处理等方面的应用。
　　本书所需要的预备知识仅为工科大学本科的数学知识，包括线性代数、微积分、常微分方程、初等概率论。相关的线性系统理论及点集拓扑、抽象代数、微分几何等初步概念在卷一的附录中给出。读者亦可略过相关部分，这不会影响对本书基本内容的理解。


更多科学出版社服务，请扫码获取。

清华大学（本科），中国科学院研究生院（硕士），美国华盛顿大学（博士）美国德州理工大学（助理教授）、中国科学院数学与系统科学研究院（助研、副研、正研）2006 年入选美国电力电子学会 IEEE Fellow. (3) 2008年入选国际自动控制联合会 IFAC Fellow. (4) 2008 年获国家自然科学二等奖 (排名第一). (5) 2011 年获国际自动控制联合会颁发 Automatica 2008-2010 最佳论文奖. (6) 2014 年再获国家自然科学二等奖 (排名第一). (7) 2015 年获中国科学院杰出科技成就奖(个人)

目录
前言
数学符号
第1章 保维数矩阵半张量积及其环结构 1
1.1 公理化的矩阵半张量积 1
1.2 保维数矩阵半张量积的定义 7
1.3 作为线性映射的保维数矩阵半张量积 13
1.4 加权保维数矩阵半张量积 15
1.5 基于桥矩阵的保维数矩阵半张量积 18
1.6 固定维数非方矩阵集合的环结构 21
1.7 环同态与环同构 23
1.8 非方矩阵的代数结构 29
1.9 单位元扩充 31
1.10 半张量和 33
1.11 伪半张量积 34
1.12 非方矩阵的一型可逆性 37
第2章 固定维数非方矩阵的李代数结构 40
2.1 李代数与一般线性李代数 40
2.2 子代数、理想、商代数 42
2.3 Killing 型 45
2.4 几类重要李代数 49
2.5 方阵李代数与非方李代数 52
第3章 固定维数非方矩阵的李群 54
3.1 方阵李代数与方阵李群 54
3.2 非方矩阵的二型可逆与非方矩阵李群 55
3.3 非方矩阵李代数与非方矩阵李群 62
3.4 非方矩阵的李子群、李子代数 64
3.5 非方矩阵李群的伴随映射 70
第4章 超群 72
4.1 格与超群的定义 72
4.2 矩阵与向量超群 76
4.3 分量群与等价群 78
4.4 超子群 86
4.5 置换超群 90
4.5.1 左置换超群 90
4.5.2 右置换超群 93
4.6 同态映射 95
4.6.1 超群的同态与同构 95
4.6.2 商超群的同态与同构 96
4.6.3 分量群间的同态 101
4.7 对称/反对称与化方映射 102
4.7.1 非方矩阵的对称与反对称 102
4.7.2 矩阵的化方映射 104
第5章 超环与超模 106
5.1 矩阵环 106
5.2 超环与泛矩阵超环 108
5.3 方阵超环 116
5.4 子超环 119
5.5 超环同态 120
5.6 超模 121
5.7 基于超模的线性控制系统 124
第6章 泛维数欧氏空间 126
6.1 向量空间与伪向量空间 126
6.2 从超群到超向量空间 129
6.3 *上的超向量空间结构 130
6.4 *上的距离空间结构 131
6.5 泛维数欧氏空间的几何结构 134
6.5.1 泛维数欧氏空间的点、线、面与子空间 134
6.5.2 正交与勾股定理 137
6.5.3 泛维数欧氏空间上的平面几何与三角 139
6.5.4 泛维数欧氏空间上的内积空间结构 143
第7章 从泛维数欧氏空间到泛维数微分流形 146
7.1 泛维数微分结构 146
7.1.1 泛维数光滑函数 148
7.1.2 向量场与余向量场 153
7.1.3 分布和余分布 158
7.1.4 张量场 159
7.2 泛维数微分流形 160
7.3 超李代数与矩阵超李代数 162
7.3.1 超李代数 162
7.3.2 超线性代数* 163
7.3.3 依赖于M的矩阵超李子代数 166
7.4 超李群与矩阵超李群 169
7.4.1 从拓扑超群到超李群 169
7.4.2 构造矩阵超群 170
7.4.3 从矩阵超群到超线性群 173
第8章 超矩阵的缩并乘法 175
8.1 从高阶数组到超矩阵 175
8.2 超矩阵的表示形式 177
8.2.1 基本矩阵表示 177
8.2.2 超矩阵的置换转置 180
8.2.3 矩阵表示的转换 183
8.3 超矩阵的缩并积 185
8.4 缩并积的半张量积实现 188
8.4.1 矩阵半张量积与超矩阵的向量表示 191
8.4.2 矩阵半张量积与超矩阵的 M-1 表示 191
8.4.3 矩阵半张量积与超矩阵的一般矩阵表示 193
第9章 超矩阵半张量积 196
9.1 复合半张量积 196
9.2 超行列式 201
9.3 复合半张量积的应用 202
9.3.1 超矩阵的奇异值分解 202
9.3.2 超矩阵的一般线性群 203
9.4 超矩阵上的动态系统 205
第10章 组合矩阵与组合超矩阵 209
10.1 组合矩阵 209
10.2 矩阵李群同态 212
10.3 组合超矩阵 213
第11章 超矩阵的特征值与特征向量 216
11.1 高阶方阵及其特征值与特征向量 216
11.2 超向量 218
11.3 超矩阵的一般特征值与特征向量 220
11.4 超矩阵的一般特征值与特征向量的性质 227
11.5 超矩阵的特征值与特征向量的计算 228
11.5.1 特征值与特征向量的存在性与解法 229
11.5.2 可分性与可对角化 230
11.6 数值方法 231
第12章 非方半群动态系统与基于观测的控制实现 242
12.1 泛维数线性系统 242
12.1.1 泛维数欧氏空间 242
12.1.2 泛维数矩阵半群下的线性系统 244
12.1.3 非方矩阵半群下的动态系统 245
12.1.4 动态系统与控制系统 248
12.2 黎曼系统与勒贝格系统 250
12.3 保维数矩阵半张量积与非方矩阵的解析函数 253
12.3.1 几种保维数矩阵半张量积 253
12.3.2 非方矩阵的解析函数 255
12.4 基于保维数矩阵半张量积的动态系统 258
12.4.1 *上的矩阵算子 258
12.4.2 *上的伪动态系统 258
12.5 线性 (控制) 系统的输出实现 261
12.5.1 近似输出实现 261
12.5.2 奇异系统 264
12.5.3 精确观测实现 267
12.6 扩展观测实现 269
12.6.1 A不变扩展观测实现 269
12.6.2 反馈扩展观测实现 271
12.7 非线性控制系统的观测实现 278
第13章 信号的投影压缩 283
13.1 信号的等价与压缩 283
13.2 基于投影的直接方法 286
13.2.1 欧氏空间之间的投影 286
13.2.2 *上的压缩与反压缩 287
13.3 高维信号的压缩与解压 289
13.4 信号空间的范数 291
第14章 基于矩阵半张量积的压缩感知 294
14.1 压缩感知的基础 294
14.2 压缩感知算法 296
14.3 感知矩阵的区组设计 302
14.3.1 区组设计方法 302
14.3.2 区组设计方法的改进 305
14.3.3 构造列正交与几乎列正交矩阵 308
第15章 分层动态系统 314
15.1 状态空间方法 314
15.2 超矩阵与超向量的分解 316
15.2.1 可分性 316
15.2.2 超向量上的线性映射 317
15.2.3 分量的辨识 322
15.3 分层线性系统 324
15.3.1 分层线性 (控制) 系统的建模 324
15.3.2 离散时间分层线性 (控制) 系统 325
15.3.3 连续时间分层线性 (控制) 系统 327
15.4 系统的分层分解 329
15.4.1 离散时间控制系统的分层分解 329
15.4.2 连续时间控制系统的分层分解 330
15.5 分层系统建模 330
第16章 超网络动态系统 334
16.1 超图 334
16.2 超网络系统的数学描述 337
16.3 一个物流超网络模型 341
第17章 立方阵的 t积 348
17.1 超矩阵与立方阵 348
17.2 t积计算 351
17.3 立方阵的代数结构 353
17.4 泛同态 357
17.5 立方阵的解析函数 359
17.6 基于t积的控制系统 361
第18章 立方阵的t半张量积 364
18.1 立方阵的Kronecker积与半张量积 364
18.2 立方阵的代数结构及立方阵控制系统 368
18.3 t半张量积 370
18.4 t半张量积下的动态系统 373
18.5 t半张量积下的李群李代数结构 375
18.6 超网络演化博弈 377
参考文献 384
索引 393