本书是一本现代Riemann（黎曼）几何的简明教材，共分两部分。第一部分为一至四章，介绍Riemann几何的基础知识，内容包括多种形式的比较定理、Calabi-Yau体积估计、郑绍远最大直径定理和Cheeger有限定理的讨论等。内容新颖且简单明了，尤其是比较定理的证明采用常微不等式的方法，不同于经典的变分方法，新的证明和讨论通俗易懂、简易明畅，本书的第二部分包括第五、六和七章，分别讨论测地流、负曲率流形和正曲率流形这三大现代Riemann几何研究领域的最新成果，许多新的研究结果如Cheeger-Gromoll灵魂猜想的新证明都是第一次在中外几何教科书中出现。

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目录
第一部分 基础知识和基本定理
第一章 Riemann流形 3
§1.1 流形、切空间和切丛 3
§1.2 Riemann 联络和仿射联络 6
§1.3 向量场的平行移动和测地线 14
§1.4 第一变分公式 18
§1.5 指数映照, 完备性和 Hopf-Rinow定理 20
习题一 26
第二章 曲率和比较定理 31
§2.1 曲率张量、截面曲率和Ricci曲率 31
§2.2 测地线族的变分向量场 32
§2.3 Jacobi方程和Riccati方程 34
§2.4 Gromov引理和经典比较定理的新证明 35
§2.5 Gromov-Bishop 比较定理 40
习题二 44
第三章 共轭点和最大直径定理 47
§3.1 共轭点、第二变分公式 47
§3.2 Ricci曲率和Myers直径定理 53
§3.3 郑绍远最大直径定理的简单证明 54
§3.4 Calabi-Yau体积线性估计 55
习题三 58
第四章 单一半径和有限定理 62
§4.1 割点、割迹和单一半径 62
§4.2 Cheeger的单一半径估计 66
§4.3 重心和流形中的离散图 69
§4.4 Cheeger有限定理 73
习题四 75
第二部分 现代理论选讲
第五章 Riemann流形上的测地流 79
§5.1 测地流和切丛上的辛结构 79
§5.2 闭测地线 85
§5.3 无共轭点的流形和 Hopf 猜测 90
习题五(含未解决的问题) 93
第六章 具有非正曲率的流形 96
§6.1 测地线、非正曲率和负曲率 96
§6.2 基本群、Preissmann和丘成桐定理 104
§6.3 Gromoll-Wolf和Lawson-Yau分解定理 109
§6.4 Eberlein正规交换子群分解定理 111
§6.5 Gromov 图形流形和最小体积流形 116
§6.6 测地流的刚性定理和其他刚性定理简介 119
习题六(含未解决的问题) 121
第七章 具有非负曲率的流形 123
§7.1 具有非负曲率流形的例子 123
§7.2 基本群和陈省身猜测的反例 128
§7.3 Cheeger-Gromoll理论和开流形 129
§7.4 Cheeger-Gromoll灵魂猜想的证明 134
习题七(含未解决的问题) 143
参考文献 145
《当代数学讲座丛书》已出版书目 148