二阶椭圆方程_李畅,沈良明,葛化彬编著_9787301364994

本书是高等院校数学专业高年级及研究生教材。本书主要介绍二阶线性椭圆偏微分方程相关理论，内容包括：调和函数及其性质，格林函数，Laplace方程的可解性，Holder连续空间，Newton位势及其正则性，Poisson方程的可解性，一般线性椭圆算子的极值原理与Schauder理论。通过本教材的讲授，读者可以较为全面地了解二阶线性椭圆偏微分方程的经典理论，熟悉极值原理这一重要工具，掌握连续性方法、先验估计等核心方法，并体会其在椭圆方程解的存在性与正则性理论中发挥的重要作用。相关的理论方法同时也为读者后续学习其他类型的方程，以及非线性椭圆方程提供必要的基础知识储备。本书可作为基础数学专业高年级本科生和研究生教材，也可作为其他相关专业的参考书。

目录第一章 Laplace 方程 §1.1 Green 表示公式 1.1.1 Green 公式 1.1.2 基本解 1.1.3 Green 表示公式 §1.2 Green 函数 1.2.1 Green 函数的引入及其性质 1.2.2 特殊区域上的 Green 函数 §1.3 球上 Laplace 方程的解 §1.4 平均值定理 §1.5 调和函数的极值原理 §1.6 解的唯一性和稳定性 §1.7 调和函数的基本性质 1.7.1 Harnack 第一定理 1.7.2 Harnack 不等式 1 1.7.3 Harnack 第二定理 1.7.4 可去奇点定理 1.7.5 解析性定理 1.7.6 梯度内估计 1.7.7 Liouville 定理 1.7.8 Harnack 不等式 2 1.7.9 平均值逆定理 §1.8 Hopf 原理 1.8.1 Hopf 原理 1.8.2 Neumann 边值问题解的唯一性习题 1 第二章 Newton 位势和 Poisson 方程 §2.1 H?lder 空间 2.1.1 H?lder 连续函数 2.1.2 H?lder 模 §2.2 Newton 位势 2.2.1 Newton 位势的定义 2.2.2 Newton 位势的一阶导数 2.2.3 Newton 位势的二阶导数 2.2.4 球上 Poisson 方程的可解性 §2.3 Poisson 方程的内部 H?lder 估计 2.3.1 Newton 位势的内部 H?lder 估计 2.3.2 Poisson 方程解的内部 H?lder 估计 2.3.3 一般区域上 Poisson 方程的内部范数估计 2.3.4 非齐次项无界的 Poisson 方程的可解性 §2.4 边界估计 2.4.1 Newton 位势的边界估计 2.4.2 Poisson 方程解的边界估计 2.4.3 球上 Poisson 方程的整体正则性习题 2 第三章一般线性椭圆算子的极值原理 §3.1 基本定义 3.1.1 椭圆算子 3.1.2 严格椭圆性和一致椭圆性 3.1.3 附加假设 §3.2 弱极值原理 3.2.1 \( c = 0 \) 时的弱极值原理 3.2.2 \( c \leq 0 \) 时的弱极值原理 3.2.3 比较原理 §3.3 强极值原理 3.3.1 Hopf 引理 3.3.2 强极值原理 3.3.3 Neumann 问题的唯一性 §3.4 先验估计 3.4.1 最大模估计 3.4.2 Harnack 不等式习题 3 第四章线性椭圆方程的 Dirichlet 边值问题 §4.1 球上的 Schauder 内估计 4.1.1 常系数主项的椭圆方程 4.1.2 插值不等式 4.1.3 变系数主项的椭圆方程 §4.2 一般区域上的 Schauder 内估计 4.2.1 有界区域上的 Schauder 估计 4.2.2 加权的 Schauder 内估计 4.2.3 球上的 \(C^0\) 估计 §4.3 球上的 Dirichlet 边值问题 4.3.1 Banach 空间 4.3.2 压缩映像原理 4.3.3 连续性方法 4.3.4 球上 Dirichlet 边值问题的可解性 §4.4 一般区域上的 Dirichlet 边值问题 4.4.1 Perron 方法 4.4.2 间函数 4.4.3 一般区域上 Dirichlet 边值问题的可解性 §4.5 提升正则性 4.5.1 从 \(C^2\) 到 \(C^{2,\alpha}\) 的提升 4.5.2 一般正则性提升定理习题 4

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