本书着眼于数学思考方法的发展，将数学划分为古代数学、中世纪数学、近代数学、现代数学，以生动的讲述方法清晰呈现了数学的发展脉络，并结合日常经验讲述了诸多数学概念与思想的来源与发展。此外，本书还通俗地讲述了现代数学中的重要概念与方法，引导读者对数学产生更深刻的理解。

一本书讲明现代数学的全部意义。

一部清晰呈现数学发展脉络与思想的通俗数学史，还原数学变化容貌下的本质。

数学为什么是现在这个样子？为什么学校只教授近代数学？

计算与思维，哪个更重要？

现代数学的思考方法更接近日常思维吗？

远山启 Hiraku Toyama 东京工业大学教授。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立水管式教学法瓷砖指导法等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。著有《数学与生活》《数学与生活2：要领与方法》《数学与生活3：无穷与连续》《数学与生活4：函数是什么》《现代数学对话》等。

第1 章 数学的变迁



1.1　古代数学　2

时代的划分　2

古代数学古埃及、中国　4

古希腊数学与泰勒斯　6



1.2　中世纪数学　9

毕达哥拉斯　9

古希腊的社会　10

欧几里得的《几何原本》　12

阿基米德与阿拉伯文化　13



1.3　近代数学　16

笛卡儿与《谈谈方法》　16

坐标与分析·　综合　18

变化与运动　20

从天动说到地动说　21

伽利略与地动说　22

微分与积分　24

牛顿与莱布尼茨之争　26

微积与积分的力量　27

开普勒三定律　29

微分、积分与牛顿力学　31

牛顿力学与相对论　34

函数是什么　36

黑箱　40

因果的法则　45

统计法则的背景　47

统计的方法　49



1.4　现代数学　52

现代数学的特征　52

几何学成为数学发展的分界线　53

未定义概念　55

集合是什么　58

包含与被包含　61

集合与形式逻辑　63

合成与分解　65

对应与映射　66

数学原子论　68

空间性　68

一一对应　70

无穷集合　71

集合与结构　73

结构是什么同构　75

结构的科学　81

拓扑结构　84

代数结构　87

序结构　93

构成的方法　95

现代数学、艺术与科学　97

动态体系　98

群　100

解剖法与问诊法　102

数学学习法　105



第2　章 现代数学的邀请



2.1　邀请之一　110

构想力的解放　112

结构　114

集合论　117



2.2　邀请之二　120

集合论的创始者　120

基数　123

可数无穷　126



2.3　邀请之三　131

康托尔的目标　131

集合论的性格　134

集合的乘方　135

子集的集合　139



2.4　邀请之四　142

集合　142

公理　143

同构性　147

结构　149



2.5　邀请之五　152

群　152

置换群　157

子群　163



2.6　邀请之六　165

子群的位数　165

同构　167

自同构的群　173



2.7　邀请之七　176

同态　176

剩余群　181

子群的交集与并集　186



2.8　邀请之八　188

同构定理　188

域　191

有限域　196



2.9　邀请之九　203

域的特征　203

最小的域　207

特征为p　的域　214



2.10　邀请之十　217

环　217

环的实例　218

有限环　221

同态环　224



2.11　邀请之十一　230

多元环　230

四元数　237



2.12　邀请之十二　241

分析与综合　241

同构与同态　243

直和与直积　248

幂零与幂等　249



2.13　邀请之十三　254

各种各样的距离　254

无穷维的距离空间　261

函数空间　263



2.14　邀请之十四　267

邻域　267

闭包点与闭包　270

闭集与开集　273



2.15　邀请之十五　278

拓扑空间与分离公理　278

T0-　空间　280

T1-　空间　283

T2-　空间　284

T3-　空间　285

连续映射　286

拓扑的强弱　288