本书是江苏省研究生优秀课程配套教材，围绕“理论推导—算法实现—工程应用”的主线，系统讲授数值分析的基本理论与常用方法，共设8章，内容涵盖误差分析、非线性方程求根、线性方程组数值解法、插值与拟合、数值微积分、常微分方程数值解法等。书中突出工程应用导向，精心设计了多个贴近实际的案例（含MATLAB程序实现），帮助读者理解算法在复杂问题中的实际价值。本书按节和章分别配备多类型习题，扫书中二维码可查看相应解析，构建“讲—练—解”一体化学习闭环。通过48学时教学安排，帮助读者夯实计算基础、提升建模与算法能力，为解决实际问题奠定坚实基础。

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张来，教授，博士生导师，2017年底加入扬州大学数学科学学院。

目录
前言
第1章 数值分析引论 1
1.1 数值分析的作用和内容 1
小节测试 2
1.2 误差的来源和基本概念 2
1.2.1 误差的来源 2
1.2.2 误差的基本概念 3
小节测试 7
1.3 数值计算中的若干准则 7
1.3.1 算法的数值稳定性 8
1.3.2 问题本身的性态 10
1.3.3 简化计算步骤, 减少运算次数 11
1.3.4 数值计算中的一些其他注意事项 13
小节测试 14
1.4 章节测试 15
第2章 非线性方程求根 18
2.1 非线性方程求根的基本介绍 18
小节测试 19
2.2 二分法 19
2.2.1 二分法的具体计算过程 19
2.2.2 二分法的特点 22
小节测试 22
2.3 迭代法的一般原理 23
2.3.1 简单迭代法 23
2.3.2 简单迭代法的收敛性 24
2.3.3 简单迭代法的几何意义 27
2.3.4 简单迭代法的局部收敛性 28
小节测试 29
2.4 牛顿迭代法 30
2.4.1 牛顿迭代公式的构造 30
2.4.2 牛顿迭代公式的几何意义 31
2.4.3 有重根的牛顿迭代公式 33
2.4.4 牛顿迭代法的收敛性 35
小节测试 38
2.5 弦截法 39
2.5.1 弦截法的基本思想 39
2.5.2 弦截法的收敛性 40
小节测试 42
2.6 迭代法的收敛速度 43
2.6.1 收敛阶定义 43
2.6.2 收敛阶判定方法 43
小节测试 45
2.7 艾特肯加速收敛算法 46
2.7.1 艾特肯加速收敛算法基本原理 46
2.7.2 艾特肯加速收敛算法的几何意义 47
小节测试 48
2.8 案例 49
2.8.1 问题背景 49
2.8.2 数学模型 49
2.8.3 计算方法 50
2.8.4 编程实现 50
2.9 章节测试 51
第3章 解线性方程组的直接法 54
3.1 直接法概述 54
小节测试 55
3.2 高斯消元法 55
3.2.1 高斯消元法的基本思想 56
3.2.2 高斯消元法的计算流程及公式 57
小节测试 61
3.3 列主元消元法.62
3.3.1 列主元高斯消元法 62
3.3.2 严格对角占优矩阵 64
小节测试 64
3.4 LU分解 65
3.4.1 几种常见的LU分解 66
3.4.2 LU分解法解线性方程组 67
3.4.3 LU分解的紧凑格式.69
小节测试 72
3.5 平方根法 72
3.5.1 正定矩阵 73
3.5.2 平方根法求解线性方程组 74
小节测试 75
3.6 追赶法 76
3.6.1 三对角矩阵 76
3.6.2 追赶法求解线性方程组 77
小节测试 79
3.7 案例 80
3.7.1 问题背景 80
3.7.2 数学模型 80
3.7.3 计算方法 81
3.7.4 编程实现 81
3.8 章节测试 82
第4章 解线性方程组的迭代法 86
4.1 迭代法概述 86
小节测试 88
4.2 向量与矩阵的范数 88
4.2.1 向量范数 89
4.2.2 矩阵范数 91
4.2.3 谱半径 94
小节测试 94
4.3 雅可比迭代法 95
4.3.1 雅可比迭代法的分量形式 95
4.3.2 雅可比迭代法的矩阵形式 97
小节测试 98
4.4 高斯–赛德尔迭代法 99
4.4.1 高斯–赛德尔迭代法的分量形式 99
4.4.2 高斯–赛德尔迭代法的矩阵形式 100
小节测试 101
4.5 SOR迭代法 102
4.5.1 SOR迭代法的分量形式 102
4.5.2 SOR迭代法的矩阵形式 104
小节测试 105
4.6 迭代法的收敛性 106
4.6.1 迭代法基本定理 106
4.6.2 特殊方程组迭代法收敛性 108
小节测试 110
4.7 方程组的误差分析 111
4.7.1 方程组的性态 111
4.7.2 条件数 114
小节测试 116
4.8 案例.116
4.8.1 问题背景 116
4.8.2 数学模型 117
4.8.3 计算方法 117
4.8.4 编程实现 119
4.9 章节测试 120
第5章 函数插值 124
5.1 插值多项式的基本介绍 124
5.1.1 问题的提出 124
5.1.2 插值问题的数学提法 124
5.1.3 插值多项式的存在唯一性 125
5.1.4 插值多项式求解方法概述 126
小节测试 127
5.2 拉格朗日插值 127
5.2.1 拉格朗日线性插值 127
5.2.2 拉格朗日二次插值多项式 129
5.2.3 拉格朗日n次插值多项式 131
5.2.4 拉格朗日插值多项式的截断误差 132
小节测试 134
5.3 牛顿插值 136
5.3.1 差商 136
5.3.2 差商的性质 136
5.3.3 利用差商表计算差商 137
5.3.4 牛顿插值公式 138
5.3.5 等距牛顿插值公式 142
小节测试 145
5.4 分段线性插值 146
5.4.1 分段线性插值问题的提出 146
5.4.2 分段线性插值的基函数 146
小节测试 149
5.5 分段埃尔米特插值 149
5.5.1 分段埃尔米特插值多项式 150
5.5.2 分段埃尔米特插值基函数的计算 150
小节测试 152
5.6 样条插值函数 153
5.6.1 样条函数 153
5.6.2 三次样条函数 154
5.6.3 三次样条函数的计算 154
小节测试 160
5.7 案例 161
5.7.1 问题背景 161
5.7.2 数学模型 162
5.7.3 计算方法 162
5.7.4 编程实现 164
5.8 章节测试 166
第6章 曲线拟合和函数逼近.170
6.1 曲线拟合的最小二乘法 170
6.1.1 直线拟合 170
6.1.2 一般多项式拟合 172
6.1.3 指数拟合 178
6.1.4 其他一些非线性拟合 181
小节测试 181
6.2 函数的最佳平方逼近 182
小节测试 186
6.3 案例.187
6.3.1 问题背景 187
6.3.2 数学模型 188
6.3.3 计算方法 188
6.3.4 编程实现 189
6.4 章节测试 191
第7章 数值积分与数值微分.194
7.1 数值积分引论 194
7.1.1 数值求积公式 194
7.1.2 插值型求积公式 196
小节测试 198
7.2 牛顿–科茨公式 199
7.2.1 牛顿–科茨公式的一般形式推导 199
7.2.2 梯形公式 201
7.2.3 辛普森公式 202
小节测试 205
7.3 复化求积公式 206
7.3.1 复化梯形公式 206
7.3.2 复化辛普森求积公式 209
7.3.3 递推梯形公式 211
7.3.4 龙贝格求积公式 213
小节测试 216
7.4 高斯求积公式 217
7.4.1 引言 217
7.4.2 正交多项式及其性质 219
7.4.3 高斯型积分 222
小节测试 227
7.5 数值微分 228
7.5.1 插值型求导公式 228
7.5.2 变步长中点公式 230
小节测试 232
7.6 案例 233
7.6.1 问题背景 233
7.6.2 数学模型 233
7.6.3 计算方法 234
7.6.4 编程实现 235
7.7 章节测试 235
第8章 常微分方程初值问题的数值解法 239
8.1 概述.239
小节测试 240
8.2 欧拉公式 241
8.2.1 显式欧拉公式 241
8.2.2 隐式欧拉公式 244
小节测试 245
8.3 改进欧拉方法 247
8.3.1 方法原理 248
8.3.2 整体截断误差 250
小节测试 251
8.4 龙格–库塔法.252
8.4.1 龙格–库塔法的思想 252
8.4.2 二阶龙格–库塔公式 254
8.4.3 三阶与四阶显式龙格–库塔方法 257
8.4.4 常用的隐式龙格–库塔方法 259
小节测试 260
8.5 单步方法的收敛性和稳定性 261
8.5.1 单步方法的收敛性 261
8.5.2 单步方法的稳定性 265
小节测试 268
8.6 案例.270
8.6.1 问题背景 270
8.6.2 数学模型 270
8.6.3 计算方法 272
8.6.4 编程实现 272
8.7 章节测试 275
参考文献 280