本书介绍常微分方程的基本理论、方法及相关应用。全书共7章，包括存在性、唯一性与稳定性等理论，求解一阶或高阶微分方程（组）的分离变量法、积分因子法、特征值法、常数变易法、拉普拉斯变换法、幂级数法和数值方法等方法，以及其在人口、生物、金融、物理、气象等不同领域中的应用。本书在编排上以实际问题的解决为牵引、以各类方程的求解为驱动、以具体方法的介绍为重点，在叙述上注重启发性和系统性，在应用上注重与MATLAB等现代数学软件的使用相结合。全书主要使用英语进行编写，章节的标题以及一些重点词汇用中、英文双语进行表述。

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2017 江苏省教学成果奖（高等教育类）一等奖：分类培养、协同育人、多元发展，信息与计算科学专业人才培养的改革与实践

Contents
Preface
Chapter 1 Introduction引言 1
1.1 Differential Equation Models微分方程模型 1
1.2 General Concepts and Definitions基本概念与定义 6
1.2.1 Classification of Differential Equations微分方程的分类 6
1.2.2 Concepts of Solutions解的概念 8
1.3 Slope Fields and Solution Curves斜率场与解曲线 13
1.3.1 The Geometry of dy/dx=f(x,y) dy/dx=f(x,y)的几何意义 13
1.3.2 Slope Fields斜率场 14
1.3.3 Construct Slope Fields by Using dfield绘制斜率场图 15
Chapter 2 First-order Differential Equation一阶微分方程 19
2.1 The Method of Separation of Variables分离变量法 19
2.1.1 Motivation: Solution by Integration动机:直接积分求解 20
2.1.2 Separable Equations变量可分离方程 20
2.1.3 How to Solve?求解方法 20
2.1.4 Separable Equations in Differential Form微分形式的变量可分离方程 23
2.1.5 Application: Population Dynamics应用:人口动力学 25
2.2 Method of Transformation of Variables变量代换方法 31
2.2.1 Homogeneous Polar Equation齐次极性方程 31
2.2.2 Equations That Can Be Transformed into Homogeneous Polar Equations可化为齐次极性方程的方程 32
2.2.3 Other Transformations其他变换 36
2.3 First-order Linear Equations一阶线性方程 40
2.3.1 Homogeneous Equations齐次方程 41
2.3.2 Nonhomogeneous Equations非齐次方程 41
2.3.3 Bernoulli Differential Equations伯努利方程 46
2.3.4 Application: Electrical Circuit应用:电子电路 50
2.4 Exact Differential Equations and Integrating Factors全微分方程 (恰当微分方程) 与积分因子 56
2.4.1 Exact Differential Equations恰当微分方程 57
2.4.2 Integrating Factors积分因子 61
2.4.3 Method of Inspection观察法 63
2.5 First-order Implicit Differential Equations一阶隐式方程 66
2.5.1 y′ Can Be Solved可以解出y′的方程 66
2.5.2 x or y Is Missing (Parametric Method)不显含x或y的方程 (参数法) 67
2.5.3 x or y Can Be Solved可以解出x或y的方程 69
Chapter 3 Fundamental Theorems of Ordinary Differential Equations常微分方程基本定理 74
3.1 The Existence-uniqueness Theorem存在唯一性定理 74
3.1.1 Motivation: Picard’s Iteration Method动机:皮卡迭代方法 75
3.1.2 Theorem of Existence-uniqueness of Solutions存在唯一性定理 78
3.1.3 The Proof of Existence存在性的证明 80
3.1.4 The Proof of Uniqueness唯一性的证明 82
3.1.5 Some Applications of Theorem 3.1.1定理3.1.1的应用举例 83
3.2 Extension of Solutions解的延拓 87
3.2.1 Definition of Extension延拓的定义 87
3.2.2 Theorem of Extension延拓定理 88
3.2.3 Some Applications of the Theorem of Extension延拓定理的应用 89
3.2.4 The Comparison Theorems 比较定理 91
3.3 Dependence and Differentiability of Solutions on Initial Conditions 解对初始条件的依赖性与可微性 93
3.3.1 Motivation:Dependence of Solutions动机:解的依赖性 93
3.3.2 Continuous Dependence of Solutions on Initial Values解对初值连续依赖性 93
3.3.3 Further Generalization进一步推广 95
3.4 Singular Solutions and Envelopes奇解与包络 97
3.4.1 Singular Solutions奇解 98
3.4.2 Envelopes and the Methods of Finding Singular Solutions包络及奇解的求法 101
Chapter 4 Higher Order Differential Equation高阶微分方程 106
4.1 General Theory of High-order Linear Equations高阶线性方程的一般理论 106
4.1.1 General concepts基本概念 106
4.1.2 Existence-uniqueness for Linear Equations线性方程的存在唯一性 108
4.1.3 Linear Dependence and Independence线性相关与线性无关 108
4.1.4 General Solutions of Homogeneous Equation齐次方程的通解 110
4.1.5 General Solution of Nonhomogeneous Equation非齐次方程的通解 111
4.1.6 Liouville’s Formula刘维尔公式 112
4.2 Homogeneous Equations with Constant Coefficients常系数齐次方程 115
4.2.1 Distinct Real Roots不同的实根 115
4.2.2 Distinct Complex Roots不同的复根 118
4.2.3 Repeated Real Roots重复的实根 120
4.2.4 Repeated Complex Roots重复的复根 123
4.3 Nonhomogeneous Equations with Constant Coefficients常系数非齐次方程 126
4.3.1 Method of Undetermined Coefficients待定系数法 127
4.3.2 Proof of the Method of Undetermined Coefficients待定系数法的证明 137
4.4 Nonhomogeneous Equations and Variation of Parameters非齐次方程与常数变易法 141
4.4.1 Variation of Parameters常数变易法 141
4.4.2 Examples例题 143
4.4.3 Initial Value Green’s Functions初值Green函数 145
4.4.4 Boundary Value Green’s Functions边值Green函数 146
4.5 High-order Differential Equations That Can Be Reduced可降阶的高阶微分方程 148
4.5.1 Equations Immediately Integrable可积方程 149
4.5.2 The Dependent Variable Absent不含未知函数的方程 149
4.5.3 The Independent Variable Absent不含自变量的方程 151
4.5.4 Exact Derivation Equation恰当导数方程 152
4.6 Application: Mechanical Vibrations应用:机械振动 153
4.6.1 Undamped Free Vibrations无阻尼自由振动 155
4.6.2 Damped Free Vibrations阻尼自由振动 157
4.6.3 Undamped Forced Vibrations无阻尼受迫振动 158
4.6.4 Damped Forced Vibrations阻尼受迫振动 159
Chapter 5 Linear Systems of Differential Equations线性微分方程组 161
5.1 First-order Systems一阶方程组 161
5.1.1 Introduction引入 161
5.1.2 Transformation Between Higher Order Equations and First-Order Systems高阶方程和一阶方程组间的转换 162
5.1.3 Linear Systems线性方程组 164
5.1.4 The Method of Elimination消去法 165
5.2 Review of Matrices and Linear Algebraic Systems复习：矩阵和线性代数方程组 167
5.2.1 Matrix-valued Functions矩阵值函数 167
5.2.2 Systems of Linear Algebraic Equations线性代数方程组 168
5.2.3 Linear Independence线性无关 169
5.2.4 Eigenvalues and Eigenvectors特征值与特征向量 171
5.3 Basic Theory of Systems of First-order Linear Equations一阶线性方程组的基本理论 173
5.3.1 First-order Linear Systems一阶线性方程组 173
5.3.2 Independence and General Solutions无关性与通解 176
5.3.3 Initial Value Problems and Elementary Row Operations初值问题与初等行变换 177
5.3.4 Nonhomogeneous Systems非齐次方程组 179
5.4 Homogeneous Linear Systems—Distinct Eigenvalues齐次线性方程组——不同特征值 182
5.4.1 The Eigenvalue Method特征值方法 184
5.4.2 Distinct Real Eigenvalues实的不同特征值 185
5.4.3 Distinct Complex Eigenvalues复的不同特征值 191
5.4.4 Applications: Mixture Problems应用:混合物问题 195
5.4.5 Application: A Multiple Spring-Mass System应用:多重弹簧振子系统 198
5.5 Homogeneous Linear Systems—Repeated Eigenvalues齐次线性方程组——重复特征值 202
5.5.1 Complete Eigenvalues完备的特征值 203
5.5.2 Defective Eigenvalues亏损的特征值 205
5.6 Other Features of Homogeneous Linear Systems齐次线性方程组的其他特征 217
5.6.1 Fundamental Matrix基解矩阵 217
5.6.2 The Matrix eAt矩阵指数eAt 220
5.6.3 Diagonalizable Matrices可对角化矩阵 221
5.7 Nonhomogeneous Linear Systems非齐次线性方程组 226
5.7.1 Undetermined Coefficients待定系数法 226
5.7.2 Variation of Parameters常数变易法 228
Chapter 6 Other Methods of Solving Ordinary Differential Equations常微分方程的其他解法 235
6.1 Definition and Properties of the Laplace Transform拉普拉斯变换的定义及性质 235
6.1.1 The Definition of the Laplace Transform拉普拉斯变换的定义 236
6.1.2 Basic Properties of the Laplace Transform 拉普拉斯变换的基本性质 239
6.2 Use Laplace Transform to Solve Differential Equations利用拉普拉斯变换求解微分方程 246
6.2.1 Solution of Initial Value Problems初值问题的解 246
6.2.2 Linear Systems线性方程组 249
6.2.3 Step Functions分段函数 251
6.2.4 Periodic Functions周期函数 255
6.3 Power Series Solutions幂级数解 256
6.3.1 Definition定义 256
6.3.2 Series Solutions About Ordinary and Regular Singular Points常点与正则奇点的级数解 257
6.4 Numerical Solution of First-order Equations一阶微分方程的数值方法 263
6.4.1 The Euler Method欧拉法 263
6.4.2 The Runge-Kutta Method龙格-库塔法 267
6.5 Numerical Solution of Systems of Ordinary Differential Equations常微分方程组的数值方法 273
6.6 Numerical Solution of Nonlinear Boundary Value Problems非线性边值问题的数值方法 276
Chapter 7 Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations常微分方程的定性理论 281
7.1 Autonomous Systems and Phase Portraits自治系统与相图 281
7.1.1 Autonomous Systems自治系统 282
7.1.2 Types of Solutions解的类型 283
7.1.3 Phase Portrait相图 283
7.1.4 Vector Field Interpretation向量场解释 285
7.2 Stability and Its Analysis by the Direct Method稳定性分析的直接方法 287
7.2.1 Concept of Stability稳定性的概念 288
7.2.2 Lyapunov’s Stability Method李雅普诺夫稳定性方法 290
7.3 Stability of Critical Points in Linear Systems线性方程组临界点的稳定性 295
7.3.1 Some Fundamental Questions一些基本问题 295
7.3.2 Stability Analysis in Two-dimensional Systems二维系统的稳定性分析 296
7.3.3 Stability Analysis in Three-dimensional Systems三维系统的稳定性分析 305
7.4 Linearization and Local Stability线性化与局部稳定性 308
7.4.1 Linearization for First-order Differential Equations一阶微分方程的线性化 309
7.4.2 Linearization for Planar Autonomous Systems平面自治系统的线性化 310
7.4.3 Application: Predator-prey (Holling-Tanner) Model应用:捕食模型 313
7.5 Periodic Solutions and Limit Cycles周期解与极限环 316
7.5.1 Periodic Solutions周期解 317
7.5.2 Limit Cycles极限环 318
7.5.3 The Poincaré-Bendixson Theorem庞加莱-本迪克松定理 320
7.6 Hamiltonian System哈密顿系统 325
7.6.1 Definition of Hamiltonian System哈密顿系统的定义 326
7.6.2 Equilibrium Points of Hamiltonian Systems哈密顿系统的平衡点 327
7.7 Chaos and Strange Attractors混沌与奇异吸引子 330
7.7.1 The Lorenz System洛伦兹系统 331
7.7.2 The R.ssler System勒斯勒系统 334
Bibliography 338
Appendix 339
A.1 Glossary of Common Vocabulary Used in Bilingual Courses双语课程常用词汇表 339
A.2 Common Sentence Patterns in Bilingual Courses双语课程常用句型 348
A.3 Common Trigonometric Identities常用三角等式 352
A.4 Common Derivative Formulas常用导数公式 353
A.5 Common Integral Formulas常用积分公式 353
A.6 Table of Laplace Transforms拉普拉斯变换表 356
A.7 Table of Inverse Laplace Transforms拉普拉斯逆变换表 357
Index 359