湍流是流体力学中的一种基本现象，是指流体在运动过程中表现出随机性和不规则性的流动状态。这种流动状态在自然界和工程应用中普遍存在，例如河流的流动、大气中的风暴及发动机内部的气体流动等。湍流在传热、传质和动量传递等过程中起着关键作用，同时也是理解和预测自然现象及优化工程设计的重要基础。

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2002.09~2006.06，北京理工大学，本科，数学与应用数学 2007.06~2009.06，北京理工大学，硕士研究生，兵器发射理论与技术 2014.11~2018.11，英国谢菲尔德大学，博士研究生，计算流体力学2006.06至今，中国空气动力研究与发展中心空气动力学基础加强计划重点基础研究项目的专题“自耦合射流主动流动机理及性能评估”的负责人，编号2019-JCJQ-ZD-044-00-03（本书依托项目）

目录
第一篇 原理
第1章 简介 3
1.1 湍流的性质/3
1.2 湍流研究/6
第2章 流体运动方程8
2.1 连续流性质/8
2.2 欧拉场和拉格朗日场/10
2.3 连续性方程/12
2.4 动量方程/13
2.5 压力的作用/15
2.6 守恒被动标量/17
2.7 涡量方程/18
2.8 应变率和旋转率/20
2.9 变换性质/21
第3章 湍流的统计描述29
3.1 湍流的随机性/29
3.2 随机变量的特征/31
3.3 概率分布示例/37
3.4 联合随机变量/47
3.5 正态分布和联合正态分布/53
3.6 随机过程/57
3.7 随机场/65
3.8 概率和平均值/69
第4章 平均流动方程72
4.1 雷诺方程/72
4.2 雷诺应力/75
4.3 平均标量方程/79
4.4 梯度扩散和湍流黏性假设/81
第5章 自由剪切流 84
5.1 圆形射流：实验观察/84
5.2 圆形射流：平均动量/95
5.3 圆形射流：动能/104
5.4 其他自相似流动/116
5.5 进一步观察/140
第6章 湍流运动的尺度158
6.1 能量级串和Kolmogorov假设/158
6.2 结构函数/164
6.3 两点相关性/169
6.4 傅里叶模式/179
6.5 速度谱/190
6.6 能量级串的频谱视图/217
6.7 局限性、缺陷及改进/221
第7章 壁面流动 230
7.1 槽道流动/231
7.2 管道流/253
7.3 边界层/261
7.4 湍流结构/283
第二篇 建模与仿真
第8章 建模与仿真简介 293
8.1 挑战/293
8.2 方法综述/293
8.3 模型评价标准/294
第9章 直接数值模拟 300
9.1 均匀湍流/300
9.2 非均匀湍流/307
9.3 讨论/310
第10章 湍流黏性模型 312
10.1 湍流黏性假设/313
10.2 代数模型/318
10.3 湍动能模型/322
10.4 kε模型/326
10.5 其他湍流黏性模型/335
第11章 雷诺应力和相关模型 339
11.1 引言/339
11.2 应变压力率张量/340
11.3 各向同性回归模型/344
11.4 快速变形理论/354
11.5 应变压力率模型/371
11.6 非均匀流动的拓展/376
11.7 近壁处理/381
11.8 椭圆松弛模型/391
11.9 代数应力和非线性黏性模型/394
11.10 讨论/403
第12章 PDF方法 408
12.1 速度的欧拉PDF/408
12.2 模型速度PDF方程/413
12.3 朗之万方程/426
12.4 湍流分散/435
12.5 速度频率联合PDF/446
12.6 拉格朗日粒子方法/455
12.7 扩展/467
12.8 讨论/490
第13章 大涡模拟 493
13.1 介绍/493
13.2 滤波/495
13.3 滤波后的守恒方程/514
13.4 Smagorinsky模型/520
13.5 波数空间中的LES/535
13.6 进一步的残余应力模型/547
13.7 讨论/561
第三篇 附录
附录A 笛卡儿张量 567
A.1 笛卡儿坐标和矢量/567
A.2 笛卡儿张量的定义/570
A.3 张量运算/572
A.4 矢量叉积/577
A.5 笛卡儿张量下标符号的总结/581
附录B 二阶张量性质 583
B.1 矩阵表示法/583
B.2 分解/584
B.3 酉变换/585
B.4 主轴/586
B.5 不变量/587
B.6 特征方程/588
B.7 凯莱哈密顿(Cayley-Hamilton)定理/589
附录C 狄拉克delta函数 591
C.1 δ（x）的定义/591
C.2 δ（x）的性质/593
C.3 δ（x）函数的导数/594
C.4 泰勒级数/596
C.5 赫维赛德（Heaviside）函数/596
C.6 多维情况/598
附录D 傅里叶变换599D.1定义/599
D.2 导数/600
D.3 余弦变换/600
D.4 delta函数/601
D.5 卷积/602
D.6 帕塞瓦尔（Parseval）定理/602
附录E 稳态随机过程的谱描述604
E.1 傅里叶级数/604
E.2 周期随机过程/606
E.3 非周期随机过程/610
E.4 过程导数/610
附录F 离散傅里叶变换 612
附录G 幂律谱616
附录H 欧拉PDF方程的推导 622
H.1 细粒度的PDF/622
H.2 细粒度PDF的导数/623
H.3 PDF输运方程/624
附录I 特征函数627
I.1 与PDF的关系/627
I.2 原点处的行为/627
I.3 线性变换/628
I.4 独立随机变量的和/628
I.5 正态分布/628
I.6 细粒度特征函数/629
I.7 总结/629
I.8 联合随机变量/631
附录J 扩散过程 633
J.1 马尔可夫（Markov）过程/633
J.2 查普曼柯尔莫哥洛夫（Chapman-Kolmogorov）方程/633
J.3 增量/634
J.4扩散过程/634
J.5 克拉默斯莫亚尔（Kramers-Moyal）方程/635
J.6 福克普朗克（Fokker-Planck）方程/636
J.7 平稳分布/636
J.8 维纳（Wiener）过程/637
J.9 随机微分方程/638
J.10 白噪声/639
J.11 欧恩斯坦乌伦贝克（Ornstein-Uhlenbeck，OU）过程/640
J.12 伊藤（Ito）转换/642
J.13 向量数值（vector-valued）扩散过程/643
参考文献 647
符号表及缩写 648