"计算方法”是高等学校计算机科学与技术、软件工程、人工智能、数学、材料科学与工程等相关专业的主干课程之一。本书结合计算方法的基本概念、基本原理及实际应用，系统地介绍了如何利用计算方法的基本思想求解若干数学问题，并采用扩展阅读的方式融入了与"计算方法”课程密切相关的思政元素。 全书共7章，全面、系统地介绍了计算方法涉及的基本概念、基本思想、误差相关知识，探讨了求解非线性方程、线性方程组的方法，研究了插值法、曲线拟合、数值积分与数值微分等，同时部分章节末尾引入了扩展阅读内容。为便于教师教学及学生自学，各章末均附有思考题，附录A中有完备的实验指导供学生上机实验使用。 本书提供了较为丰富的工程案例分析，可供高等学校计算机科学与技术、软件工程、人工智能、数学等相关专业高年级本科生及研究生作为教材使用，也可供从事该领域研究的工程技术人员学习参考。

金海燕，女，工学博士，教授，计算机学院副院长。1参加的学术组织：中国计算机学会（CCF）高级会员、CCF女计算机工作者委员会委员、中国图象图形学学会（CSIG）视觉大数据专委会委员、陕西省计算机教育学会理事会理事。出版著作情况：《操作系统原理》. 胡元义, 黑新宏, 金海燕, 杨凯峰, 鲁晓锋. 北京：电子工业出版社. 2018.8；C语言实用教程. 胡元义, 吕林涛, 金海燕, 孙钦东, 谈姝辰等. 大连：大连理工大学出版社, 2014.2；C语言实用教程题解与上机指导. 胡元义, 吕林涛, 谈姝辰, 杨凯峰, 金海燕等. 大连：大连理工大学出版社, 2014.2；大学计算机基础：计算思维初步. 张亚玲, 王炳波, 金海燕, 段敬红. 北京：清华大学出版社。

目 录

第1章 引论1
1.1 误差来源2
1.2 误差分析4
1.3 有效数字7
1.4 数值稳定性分析13
1.4.1 函数运算误差13
1.4.2 算术运算误差14
1.4.3 数值稳定性的概念15
1.4.4 减小运算误差17
1.5 秦九韶算法21
扩展阅读1：中国现代数学的追赶与超越22
扩展阅读2：测量误差带来的事故和灾难24
思考题24
第2章 非线性方程的数值解法27
2.1 初始近似值的搜索27
2.1.1 方程的根27
2.1.2 逐步搜索法28
2.1.3 区间二分法29
2.2 迭代法31
2.2.1 迭代原理31
2.2.2 迭代的收敛性32
2.2.3 迭代过程的收敛速度35
2.3 牛顿迭代法36
2.3.1 牛顿迭代法迭代公式的建立36
2.3.2 牛顿迭代法的收敛情况38
2.4 工程案例分析39
扩展阅读：牛顿迭代法40
思考题40

第3章 线性方程组的数值解法41
3.1 高斯消去法42
3.1.1 顺序高斯消去法42
3.1.2 选主元高斯消去法49
3.1.3 高斯-若尔当消去法51
3.2 矩阵三角分解法53
3.2.1 高斯消去法的矩阵描述53
3.2.2 矩阵的直接三角分解55
3.2.3 用矩阵三角分解法解线性方程组56
3.2.4 追赶法61
3.3 迭代法63
3.4 工程案例分析68
扩展阅读：数学家高斯76
思考题77
第4章 插值法81
4.1 代数插值81
4.2 拉格朗日插值83
4.2.1 拉格朗日插值多项式83
4.2.2 线性插值与抛物线插值84
4.2.3 拉格朗日插值余项与误差86
4.3 牛顿插值89
4.3.1 差商及其性质89
4.3.2 牛顿插值公式91
4.4 工程案例分析93
思考题95
第5章 曲线拟合的最小二乘法97
5.1 最小二乘法97
5.1.1 最小二乘原理97
5.1.2 直线拟合100
5.1.3 超定方程组的最小二乘解101
5.1.4 可线性化模型的最小二乘拟合102
5.1.5 多变量的数据拟合104
5.1.6 多项式拟合106
5.2 工程案例分析108
扩展阅读：最小二乘法111
思考题112
第6章 数值积分与数值微分114
6.1 数值积分115
6.1.1 数值积分的基本思想115
6.1.2 代数精度116
6.1.3 插值求积公式117
6.1.4 构造插值求积公式的步骤119
6.2 牛顿-柯特斯公式119
6.2.1 公式的导出119
6.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度123
6.2.3 梯形公式和辛普森公式的插值余项124
6.2.4 牛顿-柯特斯公式的稳定性126
6.3 复化求积法127
6.3.1 复化梯形公式127
6.3.2 复化辛普森公式128
6.4 变步长梯形求积法和龙贝格算法130
6.4.1 变步长梯形求积法130
6.4.2 龙贝格算法133
6.5 数值微分135
6.5.1 机械求导法136
6.5.2 插值求导公式137
6.6 工程案例分析140
扩展阅读1：龙贝格算法142
扩展阅读2：中国古代的微积分计算142
思考题143
第7章 常微分方程初值问题的数值解法145
7.1 欧拉法146
7.1.1 欧拉公式146
7.1.2 两步欧拉公式150
7.1.3 梯形法151
7.1.4 改进欧拉法152
7.2 龙格-库塔法154
7.2.1 泰勒级数展开法154
7.2.2 龙格-库塔法的基本思路155
7.2.3 二阶龙格-库塔法和三阶龙格-库塔法156
7.2.4 经典龙格-库塔法157
7.2.5 隐式龙格-库塔法160
7.3 工程案例分析161
扩展阅读：秦九韶《数书九章》中的计算方法162
思考题163
附录A 实验165
实验一 秦九韶算法165
实验二 区间二分法166
实验三 迭代法167
实验四 牛顿迭代法169
实验五 列选主元法170
实验六 矩阵三角分解法172
实验七 线性方程组的迭代法174
实验八 拉格朗日插值177
实验九 牛顿插值178
实验十 龙贝格算法180
实验十一 欧拉法181
实验十二 四阶龙格-库塔法182
参考文献184