绪 论
身为女性，意味良多。
其中的很多意味与身为女性其实毫无干系，是人为设定、发明、强加、附加的，是不必要的，是阻碍、破坏社会发展的，其影响不仅女性能感受到，其他人也都能感受到。
对此，数学思维又能发挥怎样的作用？
数学是一个由男性主导的领域。作为数学领域的一名女性，常常有人向我问及有关性别的问题：男多女少的情况如此严重是什么感觉？我对所谓性别上的能力差异有什么看法？我认为应该怎样解决性别不平等的问题？怎样才能找到更多的榜样？
然而，有很长一段时间，我对这些问题并不感兴趣。在我沿着学术的台阶一路拾级而上时，我心里想的都是怎样思考和怎样交流。
当我终于开始思考身为女性之事时，我才突然想起问自己：我之前怎么就没有觉得需要考虑这个问题呢？还有，我们怎样才能达到一种境界，让其他人也都不需要考虑这个问题呢？我梦想有一天，大家考虑的是性格而不是性别，是从性格而不是性别的角度树榜样，注重的是不同领域、不同行业的性格类型而不是性别平衡。
这种想法植根于我作为数学家的个人经历，却跨越并延伸至我的所有其他经历在数学以外的职场中，在寻常的社会交往中，在这个仍然以男性为主导的世界里。这种主导不是像数学领域那样以庞大的人数来表现的，而是以权力集中为特征。
我年轻的时候可没有任何女性数学家可以做榜样。一方面，那时候的女性数学家少之又少；另一方面，就算我好不容易遇见那么一两位，也是既没有什么特别的亲近感，也没有特别想变得和她们一样的欲望。不过，我在成长过程中，身边也的确不乏身份各异、成就斐然的女强人：我的母亲、我的钢琴教师、我的女校长，还有首相、女王等等。
我努力拼搏以获得成功，但这种成功是社会定义的成功，是学习成绩好、上名牌大学、获得终身职位。我是按照既有的结构及上一代学者传承下来的蓝图拼搏成功的。
从一种意义而言，我是成功的，因为我看起来是成功了；从另一种意义而言，我又并不成功，因为我没感觉到成功的喜悦。我发现那些标志我表面成功的价值观其实不是我自己的，而是别人定义的。因此，我转而另辟蹊径，摈弃外部施加的卓越标志，按帮助他人、贡献社会的价值观来实现自己的人生目标。
在此过程中，我领悟了一些身为女性需要学习的东西，学到了以前从未重视的如何做人人的道理，理解了人类对性别问题的思考方式是怎样在个体、人际、结构和系统的维度上阻碍自身前进的。
我头脑中始终萦绕未决的问题是：作为数学家，我能奉献什么？我又该怎样奉献，这不单单是从人生经历而言，更是从数学本身而言？
数学是什么？
大多数有关性别的文章都是从社会学、人类学、生物学、心理学的视角，或者干脆以彻头彻尾的女性主义理论（或反女性主义）的视角，而其中往往或好或坏都会涉及统计数字：不同场景下两性比例的统计数字、随机测试中所谓性别差异（或缺乏性别差异）的统计数字、不同文化中不同成就程度的统计数字，如此等等。
纯数学在这类讨论中又占据着何种地位呢？
数学不仅仅是数字和等式。对此我之前已有过大量论述。诚然，无论是在历史上还是在大多数教育体系中，数学都起步于数字和等式，但是，数学的内涵早已远远超过数字和等式本身，还包括关于形状、模式、图形、交互和关系的研究。
其中最为核心的，也是驱动数学命脉的，是可以作为立论框架的那部分主体结构，那才是支撑数学运转的基石。
这个框架由抽象和逻辑的双重原则共同组成。抽象是在某种情形下透过表面细节看到其核心的过程。抽象是建构逻辑论证的起点，因为逻辑论证必须是在核心层面上进行，而不是在表面细节的层面上做功。
除了计算答案和解题，数学还利用上述双重原则处理很多问题，揭示建立在思想之上但又往往隐匿于其复杂性之中的深层结构。我相信，正是因为数学有这个特点，才能帮助我们解答有关性别的棘手问题，而这些问题的确是一套复杂而模糊的理念，其背后隐藏着诸多奥秘。
数学是怎样运作的？
数学家蒂姆·高尔斯爵士（Sir Tim Gowers）论述了数学的两种文化，即解决问题和构建理论。我觉得，在大多数人眼里，数学的全部意义就在于解决问题，而构建理论则是大多数人闻所未闻或者根本无人提及的。当然，二者也并不是截然分立的。我觉得，数学只有在二者兼具时才能达到最佳效果，即在构建理论的同时也解决部分问题。但是，构建理论又是什么意思呢？
数学理论属于描述性理论，而不是规定性理论。数学理论是描述一些表面问题的固在根源，但这并不仅仅是为了预测事物的发展方向，还能帮助我们转变思路，揭示问题的根源，同时帮助我们了解问题某些方面的运作机理。理论是抽象的，我们忽略了其中的一部分表面细节，但看清了内部发生的事情。
数学中的理论往往起始于某种观念或可能性，是由这种观念的结论、后果或属性集结而成的。有时候，理论的确是某个既有观念的重构，而即便是稍加重构也可形成截然不同的理论。如果你站在芝加哥汉考克中心大楼的楼顶，便会将整个城市尽收眼底，能看到广袤的文明丛林一直延伸到地平线。但是，如果你只是略微转换一下角度，直视密歇根大道，那片丛林就会变成一个网格系统，以近乎完美的排列突然弹跳到你的眼前。生活中，有时候只需略微转换一下角度就会有新的体验，而新的数学理论往往就是这样产生的。
接下来，我将提出一个理论（或者可能只是一种重构），来解决一个问题。
什么问题？
我在本书中要解答的问题，是有关性别平等之争的分裂性。虽然不是所有的争论都有分裂性，但很多都有。有时候由于对性别的谈论方式不同，争论会把人们推向相反的方向；有时候由于对讨论的内容不甚明了，又导致争论徒劳无功。以女性主义一词为例，这个词从一开始就存在一个问题：关于女性主义的定义五花八门。其对不同的人群而言有截然不同的蕴涵，所以争论的结果也免不了南辕北辙。有些人用的是最狭义的定义，为的是理直气壮地诋毁女性主义。例如：
女性主义意味着相信女人比男人好，男人都是坏蛋。
其他人用的是最宽泛的定义，为的是说服大家都来支持女性主义，甚至是为了说服她们自己无论怎样都是为了女性主义的伟大事业。例如：女性主义意味着相信女性与男性拥有同样多的权利去选择自己的生活方式。
由于有些人的定义非常狭隘，有些人的定义又太过宽泛，在女性主义尚未真正得到定义之前，它就是一个分裂性概念。
除了这些定义之争外，还有各种不同的原因让一些人迫不及待地撇清与女性主义一词的干系。有些人将女性主义脸谱化为愤怒、仇视男人、反对家庭的女性，而这对于任何性别的潜在的女性主义者而言都是一个令人反感的形象，同时也凸显了女性主义概念具有分裂性的另一个来源：即便女性主义的本意是想克服男女之别，但它的本质却是要理清男女之别。不承认男女有别，就难以论证男女问题，不然我们就不会分别被称呼为男人和女人了。如此，我们就会被带偏，脱离主题，只顾争论男人与女人在哪些方面不同，在哪些方面没有不同。这种争论既让人分心，又毫无意义。
如此缺乏清晰性将会造成一个问题，它将我们带入一场元论证中，即一种有关我们应该论证什么的论证中。有一种观念认为：所有女性唯一共同的遭受压迫的经历，就是最具优势的那些女性白人女性（具体而言是指富有的白人异性恋女性）所受到压迫的经历。除了这些优越女性所遭遇的问题之外，我们还面临很多其他的问题，也可能是更糟的问题，如种族主义、恐同症、财富不平等。因此，我们还可能因为论证哪些问题最重要、最紧迫而分心，从而忽略了如何解决所有问题。
哪些人又能从这些元论证中获益呢？我心中的答案是：当前实权在握且想守住权力的人。当女性围绕女性主义是什么意思、女性主义的哪个分支最有发言权、谁是最受压迫的人而相互争战不休时，当因种族、性、财富、地位、教养、教育、性别表达、体力或运动能力等原因而倍感受压迫的男性也在为发出声音而战时，当这种意见分歧在所有因任何原因感到身处劣势的人之间肆虐时，那些在当前手握实权的人就可以摩拳擦掌，趁机巩固自己的权力了。
然而，下定义和进行元论证，是数学很擅长的领域。
数学视角
在数学中，我们通过下基本定义来提出理论，通过探讨一些关键事例来阐明定义，通过论证理论的普遍性和有用性来证明它的合理性。理论之所以有用，是因为它能帮助我们解决具体的问题；理论之所以有用，是因为它能帮助我们更加清晰地思考问题。我要说的是，理论就具有这样的双重功效。
在数学中，事物必须足够足够普遍，足够足够有用。不求在各种可能的情形下都有用，哪怕只是在一种情形下有用也就够了，尽管这种有用性的确需要与它可能造成的阻碍效应相权衡。这有异于证据型论证模式。一个数学理论是否合理，不是取决于大规模随机抽样的统计结果。证据型论证一般都是通过大规模抽样来测试某些项目，看看是否具有统计学上的显著性差异。这大体上是不是好过什么都不做呢？就药物效果测试而言，这大体上是不是好过安慰剂呢？就男女差别而言，男性行为与女性行为大体上有没有区别呢？
数学推理则略有不同。首先，数学推理依据的是逻辑而不是证据。其次，数学推理更倾向于问：这在什么情形下会产生影响？甚或是：这在什么情形下会产生影响？这与问某件事物会不会产生影响截然不同。要记住，平均一词并不适用于单个的个体，无论它是指均值、众数还是中位数。平均的人并不是真实的人，说平均的人做了某事或别的什么事，并不是说多数人都会表现出这样的行为。
有不少证据型结果可能在均值上适用于一大批的人群样本，但却并不适用于单个的个体。基于大样本的平均结果并不能反映我们眼前个体的任何具体信息。这包括人们需要的睡眠量（有些人确实不需要太多睡眠）、保持健康体重所需的卡路里量（有些人需要的进食量远远少于官方建议的日摄入量），做运动是否会让人感觉更好（根据研究的平均值结果，做运动的确会让人感觉更好，但并不是人人如此），你是不是能中彩票（中彩票的概率微乎其微，但每个星期都有人中彩票）。
人们常说，个体的经验并不能概化到大批的人群，但反过来也同样成立：大批群体的均值经验并不适用于个体。那么，我们又该如何思考人的问题呢？
数学的过程
数学不只是单纯地计算答案。事实上，数学的理论构建部分根本不关乎计算答案。以下简要介绍数学家构建理论时涉及的一部分环节。通常，第一个步骤是发现规律。在基础的层面上，规律可能是数字上的规律，如10的所有倍数尾数都是0；也可能是形状上的规律，如以下三角形网格中就有多个小三角形拼成的不同大小的大三角形：
古往今来，人类在众多（或所有）文化中都会用到规律，由此在小理念的基础上构建大理念。大自然同样使用规律构建复杂的结构，如花朵上的花瓣和菠萝上的螺旋。根本而言，规律就是不同事物之间或同一事物不同部分之间的联系。在此基础上，就可对规律进行抽象化，将之引申到那些未必显而易见的现象上，如行为上的规律本质上是指某个人不同时期行为上的相似性，或广而言之，是指不同类型的动物或不同群落之间在行为上的相似性。
数学则是在不同事物之间建立越来越抽象的联系，这种抽象包括忽略某种情形的具体细节，从而发现某些深层次的相似性。
这就是类比的原理，而数学则不仅仅是宣告存在着某种相似性，还会进一步研究这种相似性的真正内涵，并把它看作新的理念，进而上升到一个更加抽象的层次。
1 2=2 1类同于以下等式：
2 5=5 2。
但在数学上，我们不会止步于此，而是说，对于任何数字a和b存在：
a b=b a。
这种抽象化不仅降低了我们观点的模糊度，而且更加易于概括，可以拓宽思路，发现更多的例子。
同样，如果我们想到女性在会议上不发言、女生在课堂上不提问的规律，其抽象层次上的相似性就可归结为女性在男女混杂的环境下不发言。目前，虽然我们还没有统计这种规律的普遍程度，没有找出造成这种现象的原因，也没有想出扭转这种现象的方法，但在找出规律方面我们已经走出了一步，那就是剔除无关紧要的细节，重点关注真正重要的东西。这也是构建良好理论的关键一步。
随着我们思考为什么会出现某种规律，抽象化即开始发挥作用。数学的全部意义就在于问为什么，并不断刨根问底，不断寻找更加基本的答案。对于女性为什么在混杂人群中可能较少发言这个问题，一个肤浅的答案是因为她们是女性。我们可以检验一下这个理论，而得到的结果很可能是：有的女性实际上是发言的，而也有一些男性是不发言的。也许我们能在身为女性与不发言之间找到某种统计性关联，但抽象数学则在挖掘一个更深的层次：为什么为什么身为女性会在统计学意义上导致这种现象？如果仅仅是统计学意义上的现象，那么就等于是未经完全确定的因果关系，因此是不是能够进一步挖掘，找出其中的因果关系呢？那时我们可能会发现，造成这种现象并不是因为她们是女性，而是关乎人与人之间的关系，关乎不同人之间相互关联的方式。主张研究关系而不是固在特性，这与范畴论的思想不谋而合。范畴论是现代数学的一大进步，也是我本人的研究领域。
数学推理往往更像是案例研究。某些东西在这种情形下起了作用。是什么使它起了作用？我们能不能琢磨出怎样复制它，或者让它扩大作用的范围？这也是我将要运用的思维过程。
重要的是，在这种意义上，谈论个人经历是有效的，只要你不声称你的个人经历必然具有普遍性、统计学上的显著性或典型性。这属于案例研究，人们可以像数学家一样提问：是什么让它起作用的？我们又该怎样在此概念的基础上更进一步？
在本书中，我将列举一些在世界上取得成就的杰出人物，作为案例研究对象，重点介绍他们身上的过人之处。这些人中有不少女性，她们以自己的方式取得了成就，而不是靠模仿男性的英雄主义、勇敢、破纪录、无畏或运动精神。有时候，这也意味着她们的价值被社会低估了，对此我也有所阐述。我将介绍数学家埃米·诺特（Emmy Noether）、科学家乔斯林·贝尔·伯内尔（Jocelyn Bell Burnell）和罗莎琳德·富兰克林（Rosalind Franklin）做出的努力，活动家苏珊·伯顿（Susan Burton）及其倡导的更加人性化而非惩罚性的司法制度，弗洛伦斯·南丁格尔（Florence Nightingale）较为知名的和不太为人所知的成就，斯蒂芬妮·雪莉（Stephanie Shirley）和玛丽·波塔斯（Mary Portas）的经商原则，米歇尔·奥巴马（Michelle Obama）的职业轨迹，迪尔德丽·麦克洛斯基（Deirdre McCloskey）教授从男到女的跨性别（按她的说法）经历。
显而易见，我不是生物学家、心理学家、哲学家、历史学家，也不是社会学家、性别理论家、传记作家、神经科学家。我是一名数学家。所以我将以数学家的身份撰写本书，以数学家的身份构建理论，以数学家的身份探索人生。
我将围绕性别这一主题提出关于性别讨论的整个的重构。我将以相关的性格特质取代性别作为重点，以一些新的术语为核心，帮助我们从这个全新的维度入手。我将展示这个新视角怎样能从各个方面帮助我们向前迈进，无论我们是否身为女性。如同众多数学重构一样，相对于许多杰出人物在我之前的所写所思，这在某种意义上只是前进了一小步。但不知道为什么，一切似乎都只差提出一个新维度和新术语。这个问题已有很多文献阐述，但都没有提出解决方案。
我的研究领域范畴论也是从提出新维度和新术语入手。这显然也只是一小步，却对当代数学的整体思维模式都有影响。我觉得，我们的性别认知也可能会产生同样的作用。我提出的不是关于性别的数学，而是针对性别的数学视角。我将利用这种数学思维过程来反思我们讨论性别的整套方法。
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