函数与导数相关题目历年来都是高考中的难点, 题型千变万化。 本书从基本的做题方法着手, 整理了不同的导数题型, 由浅入深地讲解了导数问题的基本解答技巧, 特别针对多变量问题、极值点偏移问题、隐零点问题、复杂函数问题、函数与数列结合的问题进行了详细介绍。
本书是作者多年来辅导高中生学习数学的经验结晶, 适合进行高考复习的高中生和相关高中数学老师阅读。
作者有充分的知识储备。在数学方面，作者是知乎数学话题答主，并受过数学专业的高等教育，目前是北京大学数学科学学院在读博士。与长期在高中教学的数学老师相比，作者对数学的理解更好、视角更高。
本书经过实践验证。本书是作者根据三年的高中辅导经验整理而成的，成功使多名高中生学会了导数问题的解法，同时围绕高考真题，难度适合目标群体。
本书语言风格更好。作者在知乎上获得了15万的关注与21万的收藏，多篇与导数相关的文章点赞数过千。本书延续了作者在知乎上写作的风格，逻辑清晰，梳理方法，不拗口不教条，适合学生阅读。
董晟渤，本科就读于西安交通大学数学与统计学院，以专业第一的成绩保送北京大学数学科学学院，目前是概率论与数理统计专业在读直博生。知乎数学话题答主，目前有15万的关注与21万的收藏，多篇高中数学相关文章获得了过千的点赞与收藏。有三年辅导高中生学数学的经验，主要讲解内容即为本书内容，并获得学生的一致好评。多名学生成功在数学上提分，被西安交通大学、厦门大学等985院校录取。
第 1 讲 函数与导数的定义 1
1.1 函数的定义与性质 1
1.1.1 定义与常用函数1
1.1.2 函数的基本性质2
1.1.3 函数的零点问题5
1.1.4 函数定义的推广 5
1.2 导数的定义与性质 6
1.2.1 定义与基本性质6
1.2.2 取对数求导法与隐函数求导法 8
1.3 导数的应用 9
1.3.1 单调性与极值点9
1.3.2 凹凸性与拐点 12
1.3.3 证明不等式 15
1.4 课后练习 17
第 2 讲 分类讨论与分离变量 18
2.1 分类讨论的常见策略18
2.1.1 矛盾区间法 18
2.1.2 端点效应 19
2.1.3 必要性探路 20
2.1.4 多次求导 22
2.2 分离变量的策略与缺陷 24
2.2.1 分离变量的思路 24
2.2.2 洛必达法则 26
2.2.3 绕开洛必达法则 28
2.3 解题中的因式分解29
2.3.1 多项式的除法 29
2.3.2 二次方程的十字相乘30
2.4 课后练习 32
第 3 讲 函数不等式 33
3.1 常见函数不等式33
3.1.1 基本函数不等式 33
3.1.2 指数函数不等式 35
3.1.3 对数函数不等式 38
3.1.4 对数分式不等式 40
3.1.5 对数分式不等式的积分证法 43
3.1.6 对数平均不等式 43
3.1.7 三角函数不等式45
3.2 函数不等式的应用 46
3.2.1 巧用 放缩 的手段 46
3.2.2 放缩取点的技巧 47
3.3 自然常数 e 与指数函数 48
3.3.1 复利问题与指数函数48
3.3.2 微分方程与指数函数 49
3.4 函数的展开式及其应用 49
3.5 课后练习 53
第 4 讲 多变量问题 54
4.1 偏导数及其应用54
4.1.1 偏导数的引入与意义54
4.1.2 偏导数的应用 55
4.1.3 拉格朗日乘子法 59
4.1.4 存在型多变量问题 60
4.2 有关系的双变量问题 60
4.2.1 利用齐次建立关系 60
4.2.2 利用韦达定理建立关系62
4.3 函数的中值定理及其应用 63
4.4 课后练习 66
第 5 讲 极值点偏移 67
5.1 极值点偏移的基本处理方法 67
5.1.1 确定参数的取值范围67
5.1.2 对称化构造 68
5.1.3 对数平均不等式 69
5.1.4 换元与消元 70
5.2 极值点偏移的变形 72
5.2.1 不同的极值点 72
5.2.2 乘积型极值点偏移 73
5.2.3 加强不等式 74
5.2.4 拐点偏移 75
5.3 构造函数逼近原函数76
5.3.1 极值点偏移的新方法76
5.3.2 零点差问题的处理策略78
5.4 课后练习 82
第 6 讲 隐零点问题 84
6.1 隐零点问题的分析 84
6.2 隐零点问题的处理手段 87
6.2.1 消去变量 87
6.2.2 消去参数88
6.3 隐零点问题的推广 92
6.3.1 两函数的公切线问题92
6.3.2 朗博 W 函数及其应用 96
6.4 课后练习100
第 7 讲 复杂函数问题101
7.1 指数函数与对数函数的 同构 101
7.2 指数函数与对数函数结合 104
7.2.1 证明不等式 104
7.2.2 凹凸性反转的技巧 107
7.2.3 分类讨论问题 107
7.3 三角函数与其他函数结合109
7.3.1 借助三角函数的性质109
7.3.2 转化为其他函数 112
7.4 三次函数的分析 115
7.4.1 三次函数的图像与单调性 115
7.4.2 与三次函数相关的高考题116
7.5 课后练习 121
第 8 讲 函数与数列结合 122
8.1 递推数列相关问题 122
8.1.1 一阶递推数列的不动点法 122
8.1.2 高阶递推数列的特征根法 125
8.1.3 函数递推式 126
8.2 数列求和与不等式128
8.2.1 对数求和相关不等式 129
8.2.2 连乘积相关不等式 131
8.2.3 借助积分放缩 133
8.3 课后练习 135
第 9 讲 2024 年高考导数真题解析136
9.1 三次函数问题136
9.2 分类讨论问题137
9.3 多变量问题 140
9.4 其他导数问题144
第 10 讲 微积分选讲 147
10.1 从实数到无穷大 147
10.1.1 实数的定义 147
10.1.2 无穷大的势 148
10.2 极限的定义149
10.2.1 数列的极限 150
10.2.2 函数的极限151
10.3 微分与积分153
10.3.1 导数与微分 153
10.3.2 定积分与微积分基本定理 154
课后练习参考答案 157
附录 常用函数的图像 183
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