CONTENTS/目录
前言
第1章 度量空间与赋范线性空间1
1.1 度量空间的概念与例子1
1.1.1 度量空间的概念1
1.1.2 点列的极限3
1.1.3 度量空间的例子4
1.2 度量空间中的点集8
1.2.1 内点与开集9
1.2.2 聚点与闭集9
1.2.3 点集之间的距离12
1.3 连续映射13
1.4 赋范线性空间16
1.4.1 线性空间的概念及例子16
1.4.2 线性空间中的范数19
1.4.3 赋范线性空间的例子21
1.5 Lp空间22
1.5.1 Lp空间上的范数22
1.5.2 p-方平均收敛与依测度收敛的关系25
1.5.3 L∞空间27
1.5.4 lp空间29
1.6 稠密性与可分空间30
1.6.1 稠密性31
1.6.2 可分空间33
1.6.3 疏朗集35
1.7 完备性35
1.7.1 Cauchy点列与完备度量空间35
1.7.2 完备度量空间的例子38
1.7.3 完备度量空间的重要性质42
1.7.4 度量空间的完备化44
1.8 紧性47
1.8.1 列紧集的概念47
1.8.2 完全有界集49
1.8.3 C[a,b]中的列紧集52
1.8.4 紧集54
1.9 有限维赋范线性空间56
1.10 压缩映射原理及其应用60
1.10.1 压缩映射原理60
1.10.2 应用举例63
1.10.3 幂压缩映射原理65
1.10.4 Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理67
习题1 69
第2章 有界线性算子75
2.1 线性算子的有界性与连续性75
2.1.1 线性算子的概念75
2.1.2 线性算子的连续性与有界性77
2.1.3 有界线性算子的范数80
2.2 有界线性算子空间与共轭空间84
2.2.1 有界线性算子空间84
2.2.2 共轭空间及其表示86
2.3 连续线性泛函的延拓94
2.4 C[a,b]上连续线性泛函的表示102
2.5 自反空间与共轭算子106
2.5.1 二次共轭空间与自反空间106
2.5.2 共轭算子107
2.6 一致有界原理及应用110
2.6.1 一致有界原理110
2.6.2 一致有界原理的应用112
2.7 逆算子定理与闭图像定理116
2.7.1 有界线性算子的逆116
2.7.2 逆算子定理与开映像原理117
2.7.3 范数的等价性119
2.7.4 闭图像定理119
2.8 强收敛、弱收敛与一致收敛121
习题2 126
第3章 Hilbert空间131
3.1 内积空间的基本概念131
3.1.1 内积与内积空间131
3.1.2 Hilbert空间134
3.2 投影定理138
3.2.1 正交向量138
3.2.2 投影定理140
3.2.3 投影算子143
3.3 规范正交系与Fourier展开式144
3.3.1 规范正交系144
3.3.2 正交系的完备性和完全性147
3.3.3 线性无关向量系的正交化151
3.3.4 可分Hilbert空间模型154
3.4 Hilbert空间上的连续线性泛函156
3.4.1 Riesz表示定理156
3.4.2 Hilbert空间的共轭空间157
3.4.3 Hilbert空间上的共轭算子158
3.5 自伴算子、酉算子与正常算子162
3.5.1 自伴算子162
3.5.2 酉算子166
3.5.3 正常算子167
习题3 168
第4章 线性算子的谱理论173
4.1 线性算子谱的有关概念与性质173
4.1.1 特征值与特征向量173
4.1.2 正则值与谱175
4.1.3 正则集的性质177
4.2 有界线性算子谱的性质179
4.3 全连续算子的谱理论183
4.3.1 全连续算子的定义和基本性质184
4.3.2 全连续算子的谱188
4.3.3 对积分方程的应用194
4.4 Hilbert空间自伴全连续算子的谱195
习题4 198
第5章 线性算子半群及其应用201
5.1 抽象Cauchy问题与解半群201
5.2 强连续半群208
5.3 C0-半群生成元的预解式212
5.4 非扩展的C0-半群215
5.5 耗散算子221
5.6 C0-半群无穷小生成元的特征226
习题5 230
参考文献233
索引235