１．加法
计数一、二、三、四，或者 １（ｕｎｏ）、２（ｄｏｓ）、３（ｔｒｅｓ）、４（ｃｕａｔｒｏ）（或任何语言）；或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ或 １、２、３、４或任何符号可能是人类的第一个理论数学活动．
它是理论性的，因为它脱离了实体，无论这些被计数的实体是什么．牧羊人首先堆起鹅卵石，每块石头表示放
一只羊出去吃草，然后当羊回到羊圈时，再把石头一个一个地扔掉，这是在演示一种实用的数学行为
创建一对一的对应关系．但这一行为仅仅是实践，没有伴随任何理论．
本书关注的是接下来可能被发现（或发明）的数学活动加法．
我们 可能认为加法是原始的或简单的，即使小孩子都能明白．然而，片刻的反思将使你相信，人类必须付出巨大的努力才能构思出一个抽象的加法理论．在 数字出现之前，人们不能把两个数相加，并且纯数的形成是复杂的，因为它 涉及抽象的逻辑． 你可能想要直接学习数学意义上的加法并且跳过本节的其余部分，或 者揣测出
一些与数学概念和实践相关的哲学问题，正如本书的主题所示．那 些对这些哲学问题有鉴赏力的人可以享受以下极其简短的概述． 也许这种纯数的抽象概念是通过计数的经验形成的．一旦有了一系列 的数字词汇，你就可以第一天数斧头，第二天数绵羊，第三天数苹果．过了一 段时间后，你只需要列举那些单词，而不管任何特定被计数的事物，然后你 可能会无意中发现纯数的概念．
更有可能的是，算术和抽象的数字概念是同时发展起来的．
一种理解数、计数和加法概念困难程度的方法是看数学哲学，直到今 天，数学哲学还没有给数下一个能被人们普遍接受的定义．古希腊哲学家 甚至不认为数 １是一个数字，因为在他们看来，数字是我们数出来的，没有人 会对数１，句号感到困惑．
除了提到的一类问题外，我们不会谈更多非常困难的数学哲学．伊曼努 尔·康德和他的追随者非常关注加法，以及如何在哲学上证明加法的运算． 康德声称有先验人造真理，它们是真实的，我们可以在获得任何可能的经 验之前知道它是真的，但它的真实性并不依赖于词语的纯粹意义．例如，语 句单身汉没有妻子是真的，无须任何经验来保证它的正确，因为它是单 身汉的定义没有妻子的一部分．这样的真理称为先验分析．康德声称， 五加七等于十二是毋庸置疑的真理，无须任何经验来验证它的真实性，但 它是人工的，因为（康德声称）十二的概念与五七和加的概念 在逻辑上并没有关联或暗示．通过这种方式，康德可以用算术来证明先验存 在的人工真理，然后可以继续考虑其他类似的真理，这些真理后来出现在他 的哲学中．
相反，其他哲学家，如伯特兰·罗素认为，数学真理都是分析性的．这些 哲学家常常认为逻辑先于数学．这里还有一种观点认为数学真理是后验 的，即它们依赖于经验．这似乎是路德维希·维特根斯坦的观点．显然，在乔 治·奥威尔的小说《１９８４》中，统治者们也有这样的观点：他们能使战败的 英雄坚信二加二等于五．
数学哲学是极其复杂、专业和难以理解的．在 ２０世纪期间，它变得越来 越备受争议．奎因对分析综合的区别提出了全面质疑．真理的概念（这个概 念一直是一个很难解决的问题）变得越来越复杂．时至今日，对涉及数字及 其性质的任何事物，哲学家们达成一致的看法并不多．幸运的是，我们不需要选取这些哲学问题，而是去欣赏数学家们发展的一些关于数字的漂亮理 论．我们都对数字是什么有一些直观的理解，这种理解似乎就足以发展出关 于数字的既没有矛盾又十分重要的定理的概念．通过人工或计算机做算术 来测试这些定理，就可以满意地看到定理是有效的．
２．有趣的求和
本书分为 ３部分：第一部分需要你懂得高等代数和笛卡儿坐标的基本知 识，除了少数几个地方，基本上没有超出这个范围．在这一部分，我们将提出 以下问题：
- １＋２＋３＋… ＋ｋ的和有没有一个简短公式？
- 如何求 １２ ＋２２ ＋３２ ＋… ＋ｋ２的和？
- 我们可以更大胆地提出，若 ｎ为任意整数，求 １ｎ＋２ｎ＋３ｎ＋… ＋ｋｎ的 简式．
- 如何求 １＋ａ＋ａ２ ＋… ＋ａｋ的和？
- 一个给定的整数 Ｎ是否可以写成完全平方数、立方数、ｎ次方数、三 角形数、五边形数的和？
- 显然，大于 １的整数可以写成更小的正整数之和．我们可以问：有多 少种方法可以这么做？
- 如果一个数可以写成 ｋ个平方数的和，那么可以用多少种不同的方 法来完成？
我们为什么要问这些问题？因为这些问题本身是有趣的和有历史原因 的，这些问题的答案也会产生漂亮的探究方法和令人惊奇的证明． 在本书的第二部分，你需要知道一些微积分的知识．我们将研究无穷 级数，它们是无限长的求和，只能用极限的概念来定义．例如，
１＋２＋３＋… ＝？
这里的圆点表示把求和继续下去直到永远．很明显，这个总数是没有答案的，因为总数只会越来越大．如果我们愿意，可以把这个和定义为无穷大， 但这也只是上一句话的更简短的表达方式．
１＋１＋１＋… ＝？
这个和也显然是无穷大．
该如何计算
１－１＋１－１＋１－１＋１－… ＝？
现在你可能会犹豫．欧拉说它加起来的最后结果是 １/２．
１＋ａ＋ａ２ ＋… ＝？ 我们会发现，如果 ａ是一个严格处在－１和 １之间的实数，这个问题就有一个 很好的答案．在学习到几何级数时，你可能已经知道这个答案．我们将扩 展代数运算，这样 ａ就可以为复数． 然后可以问 １＋２ｎ ＋３ｎ ＋… ＝？
这里的 ｎ是任意复数．这个答案（一些 ｎ值）给出了一个关于 ｎ的被称为 函数的函数． 回到前一步，可以添加系数：
ｂ０ ＋ｂ１ａ＋ｂ２ａ２ ＋… ＝？
这就是引入生成函数概念的背景，这里的 ａ本身是一个变量．
我们也可以对 函数级数添加系数并考虑如下级数
ｃ１１ｎ ＋ｃ２２ｎ ＋ｃ３３ｎ ＋… ＝？
它被称为狄利克雷级数． 这些问题和答案促使我们在这本书的第三部分中定义和讨论模形式． 令人惊讶的是，模形式如何将前两部分的主题紧密联系在一起．第三部分 将需要你了解一点群论和一些几何学知识，并且比前两部分要复杂一些． 本书的目标之一是解释模形式，它是现代数论中不可或缺的部分． 在之前的两本书中，模形式出现得很少，但对结果却是至关重要的．在本 书中，我们想花些篇幅解释一些关于模形式的内容，尽管只会触及这一非 常广泛和深奥的主题的表面．在本书的结尾，我们将回顾如何在阿什和格 罗斯（２００６）中使用模形式来联系伽罗瓦表示理论并证明费马大定理，以 及阿什和格罗斯（２０１２）用迷人的 ＢｉｒｃｈＳｗｉｎｎｅｒｔｏｎＤｙｅｒ猜想来描述三次 方程的解． 作为本书的主题，我们从平方数的和开始，因为它是一个古老而漂 亮的问题，其解是理解模形式的最好方法．现在可以稍微描述一下这个 问题．考虑一个整数 ｎ，称 ｎ是一个平方数，如果它等于 ｍ２，这里 ｍ也是一个 整数．例如，６４是一个平方数，因为它等于 ８乘以 ８，但 ６３不是平方数．注意， 我们将 ０＝０２定义为一个平方数，类似的还有 １＝１２．从列出的 ０，１，２，… 开 始，然后依次对每个数进行平方，就很容易列出所有平方数（因为负数的平 方与它的绝对值平方是一样的，所以只需要使用非负整数），从而可以列出 所有平方数 ０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００，… 正如你所看到的，越往后面，平方数之间的间距就越大（证明：相邻的两个平 方数之间的距离为 （ｍ＋１）２ －ｍ２ ＝ｍ２ ＋２ｍ＋１－ｍ２ ＝２ｍ＋１，所以距离 会随 ｍ变大而变大．注意到这点使我们有更精确的信息：相邻两个平方数的 差是依顺序递增的正奇数）．如果用一点不合语法的话，我们可以很学究地 就说平方数的列表是一个平方数的和的列表。
这里产生了一个更有趣的问题：什么是两个平方数的和的列表？你 可以写一个计算机程序，把这个列表输出到某个极限 Ｎ，你的计算机程序至 少可以用两种不同的方式生成列表．首先，列出直到 Ｎ的所有平方数；其次：
方法 １：添加你清单上的所有可能的方式．然后按升序排列答案．
方法 ２：把 ｎ从 ０取到 Ｎ并构成一个环，对每一个 ｎ，把所有平方数 之和小于或等于 ｎ的数对加起来看是否能得到 ｎ．如果能， 把 ｎ加入列表，并继续转到 ｎ＋１；如果不能，把 ｎ从列表中 删除，然后转到 ｎ＋１．
注：我们定义 ０是一个平方数，所以任何一个平方数也是两个平方数的和．例 如，８１＝０２ ＋９２．同样，也允许一个平方数被重复使用，所以任意平方数 的两倍都是两个平方数的和．例如，１６２＝９２ ＋９２．
运行你的程序或者手工添加平方数．无论哪种方式，你都会得到一个像 下面的两个平方数的和的列表：
０，１，２，４，５，８，９，１０，１３，…
正如你所看到的，并不是每一个数字都在列表中，我们也不清楚如何预测给 定的数字是不是两个平方数的和．例如，是否有一种方法可以在不运行计算 机程序的情况下判断 １２３４５６７８９８７６５４３２１是否在列表中？现在，你的程序可 能只需要一转眼的工夫就能把所有的平方数加到 １２３４５６７８９８７６５４３２１，但是 我们可以很容易地写出一个足够大的数字来减慢计算机得出结果的速度． 更重要的是，我们希望对问题有一个理论上的回答，它的证明能使我们对列 表上的数字和哪些不在列表上的数字有所了解． 皮埃尔·德·费马在 １７世纪提出了这个问题，他一定列出了这样一 个清单．在 １７世纪时没有计算机，所以他的清单不可能那么长，但他能猜出哪个数字是两个平方数的和的正确答案．在第 ２章中，我们将提供答案， 并用粗略的方式讨论证明．因为这本书不是教科书，我们不想提供完整的证 明．而是更喜欢讲一个更容易读懂的故事．如果你愿意，你可以参考我们的 参考资料并找到完整的证明． 一旦你对这种问题感兴趣（正如费马那样，他对数论的研究有巨大的 推动作用），那么就很容易创造出更多的结论．哪些数是三个平方数的和？ 四个平方数的和？五个平方数的和？这个特定的拼图列表继续下去将失 去意义，因为，０作为平方数，任意四个平方数的和也将是五个、六个，或任 何更多个平方数的和，事实上，我们将看到，任意一个正整数都是四个平方 数的和．你也可以问：哪些数是两个立方数的和？三个立方数的和？四个立方 数的和？等等．然后可以用更高的幂代替立方数． 你还可以问（和欧拉一样）：任何数都是四个平方数的和．正方形有 ４条 边．每一个数都是 ３个三角形数的和、５个五边形数的和吗，等等．柯西证明 了答案为是． 在数学发展历史上的某个时期，发生了一些非常有创意的事情．数学家 开始问一个似乎更难的问题．而不是只想知道 ｎ是否可以写成 ２４个平方数 的和（例如），我们问：有多少种不同的方法可以把 ｎ写成 ２４个平方数的和？ 如果方法数为 ０，则 ｎ不是 ２４个平方数的和．但是，如果 ｎ是 ２４个平方数的 和，我们得到的信息比仅仅是是或不是的答案要多．事实证明，这个更 难的问题导致了强大的数学工具的发现，这些工具是非常漂亮的，它们的重 要性超越了关于幂和的难题，它们是生成函数和模形式理论中的工具．这是 本书涉及的另一个主题．
导言：本书讲的是什么？ …………………………………………………… １
- 有限和
- 第 １章 引 言 …………………………………………………………… １１
第 ２章 两个平方数的和 ………………………………………………… ２１
第 ３章 三个和四个平方数的和 ………………………………………… ２９
第 ４章 高次幂的和：华林问题 …………………………………………… ３３
第 ５章 简单和 …………………………………………………………… ３７
第 ６章 幂和，代数的大量使用 …………………………………………… ４５
- 无穷和
- 第 ７章 无穷级数 ………………………………………………………… ６７
第 ８章 特征表 …………………………………………………………… ８８
第 ９章 Ｚｅｔａ和伯努利……………………………………………………… ９４
第 １０章 方法计数………………………………………………………… １０２
第三部分 模形式及其应用
第 １１章 上半平面………………………………………………………… １１７
第 １２章 模形式…………………………………………………………… １３４
第 １３章 有多少种模形式？……………………………………………… １４５
第 １４章 同余群…………………………………………………………… １６３
第 １５章 回顾分拆与平方数的和………………………………………… １６９
第 １６章 模形式的更多理论……………………………………………… １８３
第 １７章 更多与模形式有关的事：应用 …………………………………１９４
参考文献 …………………………………………………………………… ２０４
致 谢 ……………………………………………………………………… ２０７
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