本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题，提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．内容既涵盖我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算等.本书条理清晰，内容精练，言简意赅，适合作为高等院校本科生数学分析课程的教材．

适读人群 ：数学系本科生

本书是一部现代数学名著。自20世纪70年代面世以来，一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，被许多知名大学指定为教材。
　　本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题，提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．内容既涵盖我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算等.
本书条理清晰，内容精练，言简意赅，适合作为高等院校本科生数学分析课程的教材．

从目录可以看出，本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题．编写本书的目的在于展现这门学科，所以要求叙述忠实于原貌、精确严密，包含最进展，同时又不过于学究气．本书提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论等高等课程的一种过渡，并介绍了一些涉及现代分析的抽象理论．
与第1版相比，第2版的主要更新表现在以下方面：在考虑一般的度量空间以及n维欧氏空间时介绍点集拓扑；增加了关于勒贝格积分的两章；删去了曲线积分、向量分析和曲面积分方面的内容；重排了某些章的顺序；完全重写了很多节；增加了若干新的练习．
勒贝格积分由Riesz-Nagy方法引入，此方法直接着眼于函数及其积分，而不依赖于测度论．为了适应大学本科水平的教学，在介绍勒贝格积分时，进行了简化、延伸和调整．
本书第1版曾被用于从本科一年级到研究生一年级各种水平的数学课程，既用作教科书，又用作补充参考书．第2版保持了这种灵活性．例如，第1章至第5章及第12章和第13章可用于单变量或多变量函数的微分学课程，第6章至第11章及第14章和第15章可用于积分论的课程．也可以按其他方式进行多种组合，教师则可以参考下一页的图示根据自己的需要，选择适当的章节，图中显示了各章之间的逻辑依赖关系．
我要向不厌其烦地就第1版写信给我的许多人表示感谢，他们的评论和建议有助于我进行修订．特别要感谢Charalambos Aliprantis博士，他细心地阅读了第2版的全部手稿并提出了许多有益的建议，还提供了一些新的练习．最后，向加州理工学院的学生们表示由衷的感谢，是他们对数学的热情激发了我编著此书．

T. M. A．
1973年9月于帕萨迪纳

汤姆·M. 阿波斯托尔(Tom M. Apostol)是加州理工学院数学系荣誉教授。他于1946年在华盛顿大学西雅图分校获得数学硕士学位，于1948年在加州大学伯克利分校获得数学博士学位。

Chapter 1 The Real and Complex Number Systems
1.1 Introduction 1
1.2 The field axioms . 1
1.3 The order axioms 2
1.4 Geometric representation of real numbers 3
1.5 Intervals 3
1.6 Integers 4
1.7 The unique factorization theorem for integers 4
1.8 Rational numbers 6
1.9 Irrational numbers 7
1.10 Upper bounds, maximum element, least upper bound(supremum) . 8
1.11 The completeness axiom 9
1.12 Some properties of the supremum 9
1.13 Properties of the integers deduced from the completeness axiom 10
1.14 The Archimedean property of the real-number system . 10
1.15 Rational numbers with finite decimal representation 11
1.16 Finite decimal approximations to real numbers 11
1.17 Infinite decimal representation of real numbers . 12
1.18 Absolute values and the triangle inequality 12
1.19 The Cauchy—Schwarz inequality 13
1.20 Plus and minus infinity and the extended real number system R* 14
1.21 Complex numbers 15
1.22 Geometric representation of complex numbers 17
1.23 The imaginary unit 18
1.24 Absolute value of a complex number . 18
1.25 Impossibility of ordering the complex numbers . 19
1.26 Complex exponentials 19
1.27 Further properties of complex exponentials 20
1.28 The argument of a complex number . 20
1.29 Integral powers and roots of complex numbers . 21
1.30 Complex logarithms 22
1.31 Complex powers 23
1.32 Complex sines and cosines 24
1.33 Infinity and the extended complex plane C* 24
Exercises 25
Chapter 2 Some Basic Notions of Set Theory
2.1 Introductiou 32
2.2 Notations 32
2.3 Ordered pairs 33
2.4 Cartesian product of two sets 33
2.5 Relations and functions 34
2.6 Further terminology concerning functions 35
2.7 One-to-one functions and inverses 36
2.8 Composite functions 37
2.9 Sequences. 38
2.10 Similar (equinumerous) sets 38
2.11 Finite and infinite sets 39
2.12 Countable and uncountable sets 39
2.13 Uncountability of the real-number system 42
2.14 Set algebra 43
2.15 Countable collections of countable sets
Exercises 43
Chapter 3 Elements of Point Set Topology
3.1 Introduction 47
3.2 Euclidean space R't 47
3.3 Open balls and open sets in R* 49
3.4 The structure of open sets in RH 50
3.5 Closed sets . 52
3.6 Adhèrent points. Accumulation points 52
3.7 Closed sets and adhèrent points 53
3.8 The Bolzano—Weierstrass theorem 54
3.9 The Cantor intersection theorem 56
3.10 The Lindel?f covering theorem 56
3.11 The Heine—Borel covering theorem 58
3.12 Compactness in R‘ 59
3.13 Metric spaces 60
3.14 Point set topology in metric spaces 61
3.15 Compact subsets of a metric space 63
3.16 Boundary of a set
Exercises 65
Chaqter 4 Limits and Continuity
4.1 Introduction 70
4.2 Convergent sequences in a metric space 72
4.3 Cauchy sequences 74
4.4 Complete metric spaces . 74
4.5 Limit of a function 76
4.6 Limits of complex-valued functions
4.7 Limits of vector-valued functions 77
4.8 Continuous functions 78
4.9 Continuity of composite functions.
4.10 Continuous complex-valued and vector-valued functions 79
4.11 Examples of continuous functions 80
4.12 Continuity and inverse images of open or closed sets 80
4.13 Functions continuous on compact sets 81
4.14 Topolo$ical mappings (homeomorphisms) 82
4.15 Bolzano’s theorem 84
4.16 Connectedness 84
4.17 Components of a metric space . 86
4.18 Arcwise connectedness 87
4.19 Uniform continuity 88
4.20 Uniform continuity and compact sets 90
4.21 Fixed-point theorem for contractions 91
4.22 Discontinuities of real-valued functions 92
4.23 Monotonic functions 94
Exercises 95
Chapter 5 DerJvatives
5.1Introduction 104
5.2 Definition of derivative .104
5.3 Derivatives and continuity 105
5.4 Algebra of derivatives106
5.5 The chain rule 106
5.6 One-si