本书旨在帮助读者看到群、 认识群、 验证群， 从而理解群的实质。 本书通过大量的图像和直观解释来介绍群论。
本书的主要内容有： 群是什么、 群看起来像什么、 为什么学习群、 群的代数定义、 五个群族、 子群、 积与商、 同态的力量、 西罗定理、 伽罗瓦理论。 每章*后一节为习题， 书后附有部分习题答案。
本书适合抽象代数 （ 近世代数） 课程的学生和教师， 也适合那些首次接触群论并需要在较短时间内理解群论的读者。
如果你想以轻松直观的方式来学习群论的相关知识, 那么本书正适合你｡ 我之所以说是 “ 相关知识”, 是因为本书并不打算全面综合地阐述群论的所有内容｡ 在这里, 你将看到的是关于该学科基础知识的清晰的､ 图文并茂的阐述, 这将使你对群论有一个直观的认识, 从而为进一步深入学习奠定坚实的基础｡
本书非常适合刚刚开始学习群论初级课程的学生阅读｡ 它可以替代传统的教材, 或者作为参考书, 但是它的目标却与传统的教材截然不同｡ 大多数教材都是通过定理､ 证明和例子来介绍群论的｡ 这些教材的习题会教你如何做关于群的猜想, 并验证其是否正确｡ 然而, 本书却是教你如何 “ 认识” 群｡ 你将会看到它们, 验证它们, 进而理解它们的实质｡
本书为你提供的大量的图像和直观解释, 将会大大加深你对传统教材中事实和证明的领悟｡本书同样适合娱乐性阅读｡ 如果你只是想大概地了解一下群论或者学习它的主要原理, 又不想更深入地学习高年级本科生的数学课程, 那么你可以自学本书｡ 阅读本书, 只要学过一般的高等数学即可, 不过你应该乐于分析思考｡
我对本书的工作源于 “ Group Explorer”｡ Group Explorer 是我编写的一个软件包, 它可以生成有限群的插图, 并允许使用者与其互动和验证结果｡ 书中的许多插图都是在 Group Explorer 的帮助下完成的｡ 如果可能的话, 学习使用 Group Explorer 可以帮助你解答本书中的一些习题｡
要从本书学到知识, 你倒不一定非用 Group Explorer 不可, 只有很少的一部分习题明确要求使用 Group Explorer｡ 不过我建议, 如果可以的话, 在学习中你要尽可能多地去亲自验证和交互｡ 我们越是参与其中,也就越愿意去学｡ Group Explorer 是一个免费软件, 对所有的主流操作系统都可用｡
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致谢
前言
概述 1
第 1 章 群是什么 2
1. 1 一个有名的玩具 2
1. 2 观察魔方 3
1. 3 关于对称性的研究 3
1. 4 群的法则 4
1. 5 习题 5
1. 5. 1 满足法则的情形 5
1. 5. 2 关于法则的一些结论 6
1. 5. 3 不满足法则的情形 6
1. 5. 4 数字群 7
第 2 章 群看起来像什么? 8
2. 1 绘图 8
2. 2 一个不那么有名的玩具 10
2. 3 绘制群图 11
2. 4 凯莱图 13
2. 5 初识抽象群 14
2. 6 习题 17
2. 6. 1 基础知识 17
2. 6. 2 绘图 17
2. 6. 3 回顾 18
2. 6. 4 法则 18
2. 6. 5 图形 18
第 3 章 为什么学习群? 20
3. 1 对称群 20
3. 1. 1 分子的形状 22
3. 1. 2 晶体学 23
3. 1. 3 艺术与建筑 24
3. 2 作用群 27
3. 2. 1 舞蹈 27
3. 2. 2 多项式的根 28
3. 3 群无处不在 29
3. 4 习题 30
3. 4. 1 基础知识 30
3. 4. 2 分子的对称性 30
3. 4. 3 重复模式 31
3. 4. 4 舞蹈 32
第 4 章 群的代数定义 33
4. 1 作用都去哪儿了? 33
4. 2 组合, 组合, 组合 35
4. 3 乘法表 36
4. 4 经典定义 38
4. 4. 1 结合律 39
4. 4. 2 逆元素 40
4. 4. 3 群的经典定义 40
4. 4. 4 过去, 现在, 未来 41
. 5 习题 41
4. 5. 1 基础知识 41
4. 5. 2 创建乘法表 42
4. 5. 3 伪乘法表 43
4. 5. 4 低阶群 45
4. 5. 5 表的模式 46
4. 5. 6 代数 46
第 5 章 五个群族 49
5. 1 循环群 49
5. 1. 1 旋转体 49
5. 1. 2 乘法表和模加法 50
5. 1. 3 轨道 52
5. 1. 4 循环图 53
5. 2 阿贝尔群 53
5. 2. 1 凯莱图中的非交换性 54
5. 2. 2 交换乘法表 55
5. 2. 3 错综复杂的循环图 56
5. 3 二面体群 58
5. 3. 1 翻转与旋转 58
5. 3. 2 D
n 的凯莱图 59
5. 3. 3 D
n 的乘法表 60
5. 3. 4 第 7 章的一点预告 60
5. 3. 5 D
n 的循环图 60
5. 4 对称群与交错群 62
5. 4. 1 置换 62
5. 4. 2 置换群 62
5. 4. 3 柏拉图立体 64
5. 4. 4 凯莱定理 66
5. 4. 5 小结 69
5. 5 习题 69
5. 5. 1 基础知识 69
5. 5. 2 理解群族 70
5. 5. 3 小成员 71
5. 5. 4 提高篇 72
5. 5. 5 拓展篇 73
5. 5. 6 凯莱定理 75
第 6 章 子群 77
6. 1 关于凯莱图, 乘法表
说了什么? 77
6. 1. 1 完善我们的非正式定义 78
6. 2 看见子群 79
6. 3 显露子群 80
6. 4 陪集 81
6. 5 拉格朗日定理 84
6. 6 习题 86
6. 6. 1 基础知识 86
6. 6. 2 理解子群 87
6. 6. 3 哈斯图 89
6. 6. 4 重组可视化图 89
6. 6. 5 寻找例子 90
第 7 章 积与商 92
7. 1 直积 92
7. 1. 1 可视地构造直积 93
7. 1. 2 更多直积的例子 95
7. 1. 3 为什么做直积? 96
7. 1. 4 代数观点 99
7. 2 半直积 102
7. 3 正规子群与商 105
7. 4 正规化子 110
7. 5 共轭 114
7. 6 习题 117 Ⅶ
7. 6. 1 直积 117
7. 6. 2 半直积 119
7. 6. 3 商 119
7. 6. 4 正规化子 120
7. 6. 5 共轭 121
第 8 章 同态的力量 123
8. 1 嵌入和商映射 123
8. 1. 1 嵌入 127
8. 1. 2 商映射 128
8. 2 同态基本定理 131
8. 3 模运算 133
8. 4 直积与互素 136
8. 5 阿贝尔群基本定理 139
8. 6 再访半直积 140
8. 7 习题 142
8. 7. 1 基础知识 142
8. 7. 2 同态 143
8. 7. 3 嵌入 143
8. 7. 4 商映射 144
8. 7. 5 阿贝尔化 144
8. 7. 6 模运算 145
8. 7. 7 互素 145
8. 7. 8 半直积 146
8. 7. 9 同构 147
8. 7. 10 有限交换群 149
第 9 章 西罗定理 152
9. 1 群作用 153
9. 2 走向西罗: 柯西定理 157
9. 2. 1 6 阶群的分类 161
9. 3 p - 群 162
9. 4 西罗定理 165
9. 4. 1 第一西罗定理: p - 子群的
存在性 165
9. 4. 2 8 阶群的分类 168
9. 4. 3 第二西罗定理: p - 子群间的
关系 170
9. 4. 4 第三西罗定理: p - 子群的
个数 172
9. 4. 5 15 阶群的分类 173
9. 5 习题 174
9. 5. 1 基础知识 174
9. 5. 2 群作用和作用图 174
9. 5. 3 论证 174
9. 5. 4 西罗 p - 子群 175
9. 5. 5 给定阶群的分类 175
第 10 章 伽罗瓦理论 177
10. 1 大问题 177
10. 2 更多大问题 180
10. 3 域扩张的可视化 182
10. 4 不可约多项式 185
10. 5 伽罗瓦群 187
10. 5. 1 一个小的域扩张:
Q Q (槡2) 187
10. 5. 2 Q Q (槡2) 的对称性 188
10. 5. 3 域扩张的对称性 189
10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的对称性 191
10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的对称性 193
10. 6 伽罗瓦理论的核心 195
10. 7 不可解 198
10. 7. 1 一个不可解群 198
10. 7. 2 一个不可解多项式 200
10. 7. 3 结论 202
10. 8 习题 202
10. 8. 1 基础知识 202
10. 8. 2 域和扩张 204
10. 8. 3 多项式和可解性 207
10. 8. 4 有限域 208
部分习题答案 209
符号索引 229
参考文献 231
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