循环矩阵及其算法_梅颖、卢诚波著_9787122506771

本书系统阐述循环矩阵与广义循环矩阵的理论体系及高效算法，聚焦其在计算数学与工程领域的核心应用价值。循环矩阵凭借高度对称、可分的周期性结构，在图像重建、5G通信、信号处理等场景中展现出显著的计算优势，已成为线性代数与工程应用交叉研究的热点。全书共5章，在梳理循环矩阵发展脉络与基础理论的前提下,重点介绍循环矩阵及多重循环、分块循环等广义循环矩阵的非奇异判定、求逆、乘积运算，结合FFT实现算法加速；深入研究循环矩阵平方根矩阵与对数矩阵的构造、存在性及快速求解方法，通过优化迭代、插值、递归等策略大幅降低计算复杂度，部分算法浮点操作数从O(n3)降至对数阶。
本书兼顾理论严谨性与工程实用性，适合具备本科数值代数基础的高校师生、科研及工程技术人员阅读，可为大规模矩阵运算、信号与图像处理等研究提供算法支撑。

循环矩阵类是一类具有高度对称性与可分性的特殊结构矩阵，其元素分布遵循周期性规律，这种特性让它在大规模矩阵运算中具备远超普通矩阵的计算效率，成为连接纯数学理论与工程应用的关键桥梁。这类矩阵在图像重建、编码理论、信号处理、分子振动和应用数学等领域都有着不可替代的广泛应用：在医学图像重建的CT扫描算法中，循环矩阵的快速傅里叶变换（FFT）加速特性可将图像重构时间缩短至原来的1/10；在5G编码理论中，基于循环矩阵的LDPC码能显著提升通信系统的纠错能力；在信号处理的实时降噪场景中，循环矩阵的快速求逆算法为边缘计算设备提供了轻量化解决方案。近年来，随着人工智能、量子计算等领域对高效线性代数算法的需求激增，对循环矩阵及广义循环矩阵的特性挖掘与快速算法创新已成为计算数学领域的研究热点，美国数学学会（AMS）旗下《Linear Algebra and its Applications》期刊近五年刊发相关论文数量年均增长23%，充分体现了该领域的学术热度。
本书主要面向对矩阵理论，特别是对循环矩阵感兴趣的高校师生、科研人员及工程技术人员，要求读者具备大学本科数值代数的基础，包括矩阵分解、线性方程组求解等核心内容，如果读者有计算数学或工程计算的相关研究背景，将更易理解书中的算法推导与创新点。
本书共分5章，主要讨论循环矩阵及几类广义循环矩阵的求逆、相乘、计算平方根矩阵、对数矩阵的算法，各章核心内容如下：
第1章，简单介绍了循环矩阵研究的现实意义、研究概况，梳理了循环矩阵从19世纪初的理论雏形到21世纪工程应用爆发的发展脉络，同时给出了几类循环矩阵的严格定义、关键性质，以及与本书有关的核心定理、引理和统一符号系统，为后续章节的算法推导奠定理论基础。
第2章，介绍了判断循环矩阵非奇异性的几个充分条件，包括基于特征值分布和多项式不可约性的多维度判别准则。利用矩阵分块降阶的方法给出了循环矩阵求逆与相乘的显式算法，并介绍了利用快速傅里叶变换（FFT）对循环矩阵进行求逆与相乘的快速算法该算法在处理万维级矩阵时，运算效率较传统高斯消元法提升近百倍，且数值稳定。随后对这些方法的运算量、存储需求、并行性进行了量化比较，进一步讨论了循环线性方程组的预处理迭代算法，包括共轭梯度法的优化应用。
第3章，给出了几类广义循环矩阵求逆与相乘的快速算法。借助快速傅里叶变换（FFT）给出了(n1,n2)型二重(r1,r2)-循环矩阵求逆与相乘的快速算法，该算法可直接应用于彩色图像的并行处理，大幅降低图像处理的时间复杂度；利用矩阵分块降阶的方法给出了(R,r)-循环分块矩阵求逆与相乘的快速算法；然后将鳞状因子循环矩阵的概念推广到矩阵块，定义了分块鳞状因子循环矩阵，并设计了一种递归算法计算分块鳞状因子循环矩阵的逆矩阵。本章最后讨论了广义(h,r)-循环矩阵的性质及其算法，建立了该类矩阵的谱分解模型，给出了特征值的显式表达。
第4章，简单介绍了平方根矩阵的研究现状、分类、存在性及相关引理。首先，作者给出了循环矩阵和拟斜循环矩阵的简化式，利用这些性质分别设计了计算循环矩阵和拟斜循环矩阵的平方根矩阵的算法，这些算法和基于Schur分解的标准计算平方根矩阵算法相比，在运算量上有较大的优势浮点操作数从O(n3)降至log2(n) 。同时，还研究了循环矩阵和拟斜循环矩阵的平方根矩阵的数量、形式和分类情况。进一步地，给出了主对角线元素为正数的循环H矩阵，并设计了两种迭代算法来计算这类循环矩阵的主平方根矩阵，这两种迭代算法不涉及三角函数的计算，只需要矩阵的乘法和加法。进一步利用插值法给出了计算鳞状因子循环矩阵平方根矩阵的一种快速算法，本章最后讨论了r-首尾和循环矩阵的平方根计算。
第5章，简单介绍了对数矩阵的研究现状、分类、存在性及相关引理。然后对循环矩阵、拟斜循环矩阵、Hermite循环矩阵、鳞状因子循环矩阵以及几类广义循环矩阵的对数矩阵进行了研究，讨论了对数矩阵的结构、数量以及计算方法，并对算法复杂性进行了量化分析。
书中涉及大量外国人名，本书对外国人名的译法遵循国际数学界通用规范，仅对一般读者耳熟能详的名字如傅里叶等加以直接使用，其他则保持外文名。这种处理方式避免了生僻译名造成的理解歧义，更便于读者在后续查阅IEEE Xplore、ScienceDirect等国际数据库文献时保持术语一致性。
限于笔者学术视野与研究周期，本书仅聚焦于循环矩阵及广义循环矩阵的经典算法场景，对近年来兴起的，如量子循环矩阵、AI驱动矩阵优化等前沿方向未做深入探讨，相关内容可参考相关期刊的最新研究成果。
本书在算法推导与实例验证中虽力求严谨，但仍可能存在疏漏或表述欠妥之处，恳请学界同仁与广大读者不吝批评指正。
本书的撰写得益于众多前辈学者的经典理论与同行的研究启发，在此谨致最诚挚的谢意；同时感谢笔者单位丽水学院对本书出版提供的支持和帮助；也期待本书能为循环矩阵领域的入门读者搭建起基础理论与工程应用的桥梁，若能为后续研究提供些许参考，便是笔者最大的荣幸。

著者

我要评论