本书主要讨论如何在随机环境下利用微积分工具分析和解决金融问题，并介绍金融中常用的一些随机过程和模型，及其在金融投资、资产定价、组合配置与风险管理等金融核心领域的应用。作者力求在金融思想和数学表达之间寻求平衡，不将严格完美的数学证明作为追求目标，而是试图直观地将金融原理溶于数学模型和公式中，使得读者能够饶有兴致地在应用场景中带着目标来解决问题，进而理解和掌握金融随机现象的本质。
本书适合金融工程专业、金融专业以及与金融相关的其他专业学生学习使用。

本书凝结了西南财经大学金融学院二十余载金融随机分析与金融工程课程教学的精华，是一本试图透过金融随机现象建立数理金融模型并指导金融实践的创新教材。作者紧扣新时代新财经背景下复合型金融人才的培养要求，遵循由浅入深、循序渐进的逻辑架构，在内容上既涵盖了金融资产定价与风险管理领域的主流随机过程，又保留了金融随机微积分的经典理论体系，并结合金融工程实务拓展了丰富的实践应用。

前言
PREFACE
金融世界，纷繁复杂，迷雾重重。透过随机，领悟实质，方得始终。
金融随机分析是金融学和数学交叉领域的一个重要分支，旨在为复杂金融世界
的运行逻辑提供数学解析。金融随机分析使用随机微积分工具探究金融领域不确定
性背后的规律，探析金融资产定价原理，剖析金融风险演化机理，创新金融产品设
计体系，助力实体经济高质量发展。
近年来，经济金融体系交织演化日益复杂，金融产品创新日益多样，复杂金融
问题系统性解决方案的重要性日益凸显。新时期新财经背景下的复合型金融人
才培养需要构筑完整的金融知识体系，需要打下坚实的随机分析基础。
西南财经大学金融学院于 2005 年首次针对金融工程专业本科生开设金融随机
分析课程，至今已有 20 年，朱波、刘强、方能胜、王妍婕等老师参与和见证了该课
程的发展历程。目前，该课程的授课对象已由金融工程专业本科生逐步扩展到金融
科技、金融学、信用管理等专业的本科生，课程授课层次逐步由本科拓展到研究生，
成为核心必修课程之一。经过 20 年的发展，课程组积累了丰富的教学经验，形成了
成熟的知识体系，融入了丰富的思政元素。课程组很早就有总结教学教改实践以及
编写该课程教材的想法，但鉴于种种问题，几经波折，直至今日才正式付梓。
一直以来，如何讲好金融随机分析课程始终是实际教学的重点和难点。如何将
经典数学知识体系和丰富的金融场景应用深度融合，如何兼顾财经专业学生的基础
状况和专业兴趣，如何在扎实随机分析基础和金融综合实践能力培养等教学目标上
平衡，如何在随机分析经典内容体系的基础上嵌入金融新近实践内容，如何借助人
工智能等工具和手段助力课程教学与改革。这些问题是课程组一直在教学实践中不
断攻克的问题，也是课程组实际教学的精彩之笔所在。为更好地完善课程建设，服
IV 金融随机分析与金融工程
务专业建设，助力学科建设，课程组决定编写本书。希望本书能为新时期，新发展，
新征程下的新财经贡献绵薄之力。
本书内容既保留了金融随机微积分的经典知识体系，又覆盖了金融资产定价
和金融风险管理等领域中常见的随机过程，还结合金融工程场景拓展了大量实践
应用。在哥萨诺夫（Girsanov）定理、伊藤德布林（Ito-Doeblin）公式和费曼卡兹
（Feynman-Kac）定理等核心知识模块的基础上，本书对一些较为复杂的随机分析内
容及在衍生产品定价等领域中的运用进行了精选和简化，增加了大量的案例和金融
应用场景，以期更契合商科学生的阅读习惯和思维方式。本书第 1 章回顾金融随机
分析和金融工程领域中用到的概率论基础知识，第 2 章介绍金融中常见的随机过程，
第 3 章阐述无套利原理，第 4 章讲述随机微积分，第 5 章探讨风险中性定价，第 6
章和第 7 章讲述随机微分方程和偏微分方程以及这两种方程在金融领域中的应用，
第 8 章介绍计价单位变换与鞅定价，第 9 章阐述跳过程及相关期权定价，第 10 章
讲述随机动态规划，第 11 章探讨停时与美式期权。全书内容尽可能地兼顾知识性、
兴趣性、实践性和易读性。
本书由西南财经大学金融学院三位老师经过多轮深入讨论、反复琢磨、精心撰
写而成。第 1～3 章、第 6 章由方能胜老师编写，第 7 ～ 10 章主要由王妍婕老师编
写，第 4 章、第 5 章、第 11 章主要由朱波老师编写，其中第 5.6 节、第 7.4 节、第
8.5 节、第 9.4 节、第 10.2 节由方能胜老师编写。全书由方能胜老师统稿并配图，王
妍婕和朱波两位老师协助校稿。西南财经大学金融学院金融工程系全体教师为本书
的编写提供了诸多宝贵建议，机械工业出版社王洪波编辑为本书的出版和发行倾注
了大量心血，在此一并表示感谢！
本书可作为金融工程、金融学、金融科技、信用管理和金融数学等专业本科生
和研究生相关课程的教材，也可作为金融量化分析、金融资产定价、金融风险管理、
衍生产品创设、金融市场建模从业者的参考读物。限于作者学识和能力，本书难免
存在一些缺点和不足，在此真诚地希望读者提出宝贵的批评和建议，我们将在后续
的修订过程中不断加以改进和完善。
联系邮箱：fangns@swufe.edu.cn
编者 成都

方能胜，副教授，厦门大学计算数学博士，现任西南财经大学金融学院金融工程系课程负责教师。研究方向：资产定价、金融风险管理。

目录
CONTENTS
前言
本书符号说明
第 1 章 概率论基础　　　 1
1.1 无限概率空间　　　2
1.2 随机变量及其分布　　 5
1.2.1 随机变量　　　6
1.2.2 分布　　　　7
1.2.3 矩母函数　　　9
1.3 期望与勒贝格积分　　10
1.3.1 期望　　　 10
1.3.2 勒贝格积分　　 11
1.4 收敛定理　　　14
1.4.1 随机序列的极限　　14
1.4.2 函数列积分的极限　 15
1.5 条件概率与条件期望　17
1.5.1 信息流　　 17
1.5.2 独立性　　 18
1.5.3 条件概率与贝叶斯公式　20
1.5.4 条件期望　　22
1.5.5 条件期望性质　　 23
习题　　　　 26
第 2 章 金融中常见的随机过程　 28
2.1 马尔可夫过程　　　29
2.2 二项过程　　　31
2.3 鞅过程　　　　32
2.4 维纳过程　　　35
2.5 伊藤过程　　　40
2.6 泊松过程　　　42
习题　　　　 46
第 3 章 无套利原理　　　 48
3.1 证券市场与投资策略　49
3.1.1 市场状态　　49
3.1.2 资产价格和收益率　 50
3.1.3 投资策略　　50
3.2 无套利原理及应用　　52
3.2.1 套利　　　 52
3.2.2 欧式看跌看涨期权平价
公式　　　　54
目录 IX
3.3 二叉树模型　　　 56
3.3.1 复制　　　 56
3.3.2 -对冲　　　 57
3.4 鞅定价、风险中性定价与无
套利原理　　　61
习题　　　　 64
第 4 章 随机微积分　　　 67
4.1 布朗运动下的投资收益　 67
4.2 伊藤积分　　　68
4.2.1 伊藤积分的定义　　68
4.2.2 伊藤积分的性质　　73
4.3 伊藤德布林公式　　 74
4.4 布莱克斯科尔斯默顿偏
微分方程　　　78
习题　　　　 81
第 5 章 风险中性定价　　　84
5.1 单步二叉树期权定价　84
5.2 概率测度变换　　　86
5.3 拉东尼柯迪姆导数　　89
5.3.1 有限空间情形　　 89
5.3.2 一般空间情形　　 92
5.4 哥萨诺夫定理　　　94
5.5 风险中性定价方法的运用　98
5.5.1 贴现价格过程　　 98
5.5.2 衍生品风险中性定价　101
5.6 -中性与希腊值风险管理　103
习题　　　　　108
第 6 章 金融中的随机微分方程　111
6.1 含噪声的常微分方程　 111
6.2 随机微分方程　　113
6.2.1 随机微分方程的解　 114
6.2.2 几何布朗运动的解　 116
6.3 均值回复过程　　117
6.4 随机波动率模型　　 121
6.5 倒向随机微分方程　　122
6.5.1 BSDE 解的存在唯一性　123
6.5.2 金融中的 BSDE　　125
习题　　　　　127
第 7 章 从鞅到偏微分方程　　128
7.1 费曼卡兹定理　 128
7.2 衍生证券定价　　131
7.3 债券定价模型　　133
7.4 多维费曼卡兹定理及亚式
期权　　　　 136
习题　　　　　140
第 8 章 计价单位变换与鞅定价　142
8.1 货币账户计价　　142
8.2 远期测度　　　 144
8.3 本外币计价的风险中性
测度　　　　 150
8.3.1 本币计价的风险中性
测度　　 151
8.3.2 外币计价的风险中性
测度　　 153
X 金融随机分析与金融工程
8.4 鞅定价方法　　　154
8.5 资产交换期权　　156
习题　　　　　158
第 9 章 跳过程　　　　160
9.1 稀有事件与黑天鹅　　160
9.2 复合泊松过程　　161
9.3 跳扩散过程　　　163
9.4 测度变换　　　 167
9.4.1 泊松过程的测度变换　168
9.4.2 复合泊松过程的测度变换　169
9.5 跳扩散股价过程的欧式期
权定价　　　　171
9.5.1 跳扩散过程　　 171
9.5.2 含跳跃的股票期权风险
中性定价　　　173
9.5.3 跳扩散期权的偏微分
方程　　 175
习题　　　　　177
第 10 章 随机动态规划　　 179
10.1 金融随机优化问题　 179
10.2 动态规划原理　 181
10.3 有限时间下的情形　 182
10.3.1 有限时间下的随机控制
问题　　　 182
10.3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman
方程　　　 183
10.3.3 最优消费投资决策：两
资产模型　　 184
10.3.4 收益预测性和资产配置　186
10.4 无限时间下的情形　 188
10.4.1 Hamilton-Jacobi-Bellman
方程　　　 189
10.4.2 最优消费投资决策　190
习题　　　　　193
第 11 章 停时与美式期权　　196
11.1 离散情形的停时　　197
11.2 连续情形的停时　　200
11.3 连续情形的美式期权定价　203
11.3.1 永久美式看跌期权定价　203
11.3.2 永久美式看跌期权的
停时　　　 205
11.3.3 有限到期日的美式看跌
期权　　　 210
11.3.4 美式看涨期权　　213
习题　　　　　219
术语表　　　　　 221
参考文献　　　　　227