本书是以作者多年的教学经验为基础，为适应新形势下的大学教育需求而编写的。主要介绍复变函数的基本概念、理论和方法，以及数学物理方程的基本理论和解法。本书对教材的内容体系等进行了创新，力求主题集中、深入浅出、可读性强。全书共9章，主要内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、数理方程与定解问题、有界问题的分离变量法、无界问题的行波法、贝塞尔函数、勒让德函数等。

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目录
前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的表示 1
1.1.3 复数的运算 3
1.2 复变函数 6
1.2.1 平面点集的相关概念 6
1.2.2 复变函数的概念 8
1.2.3 复变函数的极限与连续性 10
习题1 13
第2章 解析函数 14
2.1 解析函数的概念 14
2.1.1 复变函数的导数 14
2.1.2 解析函数的定义及求导法则 15
2.1.3 解析函数的判别 16
2.1.4 解析函数的性质 18
2.1.5 解析函数的物理解释 21
2.2 初等复变函数 21
2.2.1 指数函数 21
2.2.2 三角函数 23
2.2.3 双曲函数 25
2.2.4 对数函数 27
2.2.5 幂函数 28
2.2.6 反三角函数 29
习题2 30
第3章 复变函数的积分 32
3.1 复变积分的概念 32
3.1.1 复变积分的定义 32
3.1.2 复变积分的计算 33
3.1.3 复变积分的性质 36
3.2 柯西积分定理 36
3.2.1 单连通区域的柯西积分定理 36
3.2.2 复连通区域的柯西积分定理 38
3.2.3 复变函数的原函数与定积分 40
3.3 柯西积分公式 42
3.3.1 解析函数的柯西积分公式 42
3.3.2 解析函数的高阶导数公式 46
习题3 48
第4章 解析函数的级数表示 50
4.1 幂级数 50
4.1.1 复数项级数 50
4.1.2 复变函数项级数 52
4.1.3 复变函数幂级数 53
4.2 泰勒级数 56
4.2.1 解析函数的泰勒展开 56
4.2.2 泰勒展开的常用方法 58
4.3 洛朗级数 61
4.3.1 解析函数的洛朗展开 61
4.3.2 洛朗展开的常用方法 64
4.4 留数定理 66
4.4.1 零点 66
4.4.2 孤立奇点 67
4.4.3 留数 70
4.4.4 留数定理及应用 72
习题4 75
第5章 数理方程与定解问题 78
5.1 数理方程的建立 78
5.1.1 波动方程 79
5.1.2 扩散方程 82
5.1.3 稳定场方程 84
5.2 定解问题的基本概念 85
5.2.1 泛定方程 85
5.2.2 定解条件 86
5.2.3 叠加原理 89
5.3 数理方程的分类与标准型 90
5.3.1 数理方程的分类 91
5.3.2 数理方程的特征线 91
5.3.3 数理方程的标准型 93
习题5 96
第6章 有界问题的分离变量法 98
6.1 齐次方程的定解问题 98
6.1.1 波动方程的求解 98
6.1.2 扩散方程的求解 103
6.1.3 稳定场方程的求解 105
6.2 非齐次方程的定解问题 110
6.2.1 齐次边界条件的定解问题 110
6.2.2 非齐次边界条件的定解问题 114
习题6 116
第7章 无界问题的行波法 118
7.1 二阶线性齐次偏微分方程的行波解 118
7.1.1 二阶线性齐次偏微分方程的通解 118
7.1.2 一维波动方程的达朗贝尔公式 120
7.2 二阶线性非齐次偏微分方程的冲量原理 123
7.2.1 零初始条件下波动方程的求解 123
7.2.2 非零初始条件下波动方程的求解 126
习题7 127
第8章 贝塞尔函数 128
8.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 128
8.1.1 方程的常点和奇点 128
8.1.2 方程的级数解 129
8.2 贝塞尔方程及求解 130
8.2.1 贝塞尔方程的导出 130
8.2.2 贝塞尔方程的级数解 133
8.3 贝塞尔函数的性质 140
8.3.1 贝塞尔函数的递推公式 140
8.3.2 贝塞尔函数的渐近公式 142
8.3.3 贝塞尔函数的零点分布 143
8.4 傅里叶-贝塞尔级数 145
8.4.1 贝塞尔方程的本征值问题 145
8.4.2 贝塞尔函数的带权正交性 146
8.4.3 贝塞尔函数的模 148
8.4.4 傅里叶-贝塞尔级数展开式 149
8.4.5 贝塞尔函数的应用 151
习题8 155
第9章 勒让德函数 157
9.1 勒让德方程及求解 157
9.1.1 勒让德方程的导出 157
9.1.2 勒让德方程的求解 160
9.2 勒让德多项式 163
9.2.1 勒让德多项式的一般形式 164
9.2.2 勒让德多项式的微分表达式 166
9.2.3 勒让德多项式的基本性质 167
9.2.4 勒让德多项式的递推公式 169
9.3 傅里叶-勒让德级数 170
9.3.1 勒让德多项式的正交性 170
9.3.2 勒让德多项式的模 171
9.3.3 傅里叶-勒让德级数展开式 173
9.3.4 勒让德函数的应用 174
9.4 连带勒让德多项式 176
9.4.1 连带勒让德方程的求解 176
9.4.2 连带勒让德多项式的性质 178
9.4.3 球谐函数 178
习题9 181
参考文献 183