本书是数学专业本科生核心教材，以经典偏微分方程为主线，深度融合物理背景与数学建模思想，系统阐述位势方程、热传导方程、波动方程的理论体系与求解方法。全书从偏微分方程的历史发展切入，通过严谨的数学推导和直观的物理阐释，引导学生理解椭圆型、抛物型、双曲型三类基本方程解的存在性、唯一性、稳定性及求解技巧。书中特别设置广义函数与基本解等进阶专题，其中“经典方程赏析”专题通过如Maxwell方程、Navier-Stokes方程等经典方程揭示数学理论与实际应用的深刻联系。全书还配备丰富的数值图像、习题与拓展阅读，培养学生的物理直观与创新能力。部分计算机绘图通过信息技术展示，读者扫描二维码可以欣赏高清图像，便于理解。

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李海刚，北京师范大学教授、博士生导师，北京师范大学与美国罗格斯大学联合培养博士。在Adv. Math.、ARMA、JMPA、JFA等杂志发表论文30余篇。

目录
前言
第1章 绪言 1
1.1 偏微分方程发展概要 1
1.2 偏微分方程的建模 4
1.2.1 Laplace方程 5
1.2.2 热传导方程 6
1.2.3 弦振动方程 9
1.3 偏微分方程的适定性与分类 10
1.3.1 常微分方程初值问题的非特征条件 11
1.3.2 二维一阶偏微分方程的特征曲线 12
1.3.3 高维初值问题与非特征条件 13
1.3.4 二阶偏微分方程的特征超曲面与分类 14
1.3.5 二维二阶常系数偏微分方程的判别法 15
习题1 15
1.4 经典偏微分方程赏析(一):Maxwell方程——光是一种电磁波 17
1.4.1 电磁统一之路:从偶然发现到理论巅峰 17
1.4.2 方程解读:Maxwell方程组的积分形式 19
1.4.3 Maxwell方程组的微分形式 22
1.4.4 伟大预言:光是一种电磁波 24
第2章 位势方程 26
2.1 引言 26
2.2 调和函数与均值性质的等价性 32
2.3 Dirichlet边值问题解的唯一性与稳定性 34
2.3.1 弱极值原理 35
2.3.2 最大模估计:解的先验控制 36
2.3.3 解的稳定性与唯一性 37
2.4 Poisson方程的特解 38
2.4.1 基本解 38
2.4.2 Newton位势:特解构造 40
2.5 Dirichlet边值问题解的Poisson公式 46
2.5.1 基本解与Green函数 47
2.5.2 上半空间的Poisson公式 50
2.5.3 球上的Poisson公式 51
2.5.4 Green函数的一些性质 54
2.6 一般区域上Dirichlet边值问题解的存在性 56
2.6.1 上调和函数与下调和函数的定义 57
2.6.2 C？下调和函数与调和提升 58
2.6.3 Perron方法 61
2.7 Neumann边值问题解的最大模估计 65
习题2 68
第3章 热传导方程 71
3.1 引言 71
3.2 解的唯一性与稳定性 73
3.2.1 极值原理与最大模估计 73
3.2.2 能量不等式 77
3.3 初边值问题解的存在性 79
3.3.1 问题的简化与Duhamel原理 80
3.3.2 分离变量法 81
3.4 Cauchy问题解的存在性 85
3.4.1 Fourier积分定理 86
3.4.2 Fourier变换及其性质 88
3.4.3 热传导方程Cauchy问题的求解 91
习题3 95
3.5 经典偏微分方程赏析(二):Euler方程与Navier-Stokes方程 96
3.5.1 Bernoulli定理:流体力学的基石 97
3.5.2 Euler方程:理想流体的数学刻画 98
3.5.3 Navier-Stokes方程:黏性流体的革命 98
第4章 波动方程 100
4.1 引言 100
4.1.1 简谐振动 101
4.1.2 驻波和行波 102
4.1.3 驻波的叠加 103
4.2 Cauchy问题的求解公式 105
4.2.1 弦振动方程:行波法 106
4.2.2 三维波动方程的Cauchy问题:球平均法 109
4.2.3 二维波动方程的Cauchy问题:降维法 115
4.3 初边值问题的求解 118
4.3.1 弦振动方程的初边值问题 119
4.3.2 高维波动方程的初边值问题 125
4.4 解的唯一性与稳定性 127
4.4.1 初边值问题的能量方法 127
4.4.2 Cauchy问题的能量方法 130
习题4 132
第5章 广义函数与基本解 136
5.1 广义函数的Fourier变换 136
5.2 热方程与Laplace方程的基本解 143
5.2.1 热传导方程Cauchy问题的基本解 143
5.2.2 Laplace方程的基本解 144
5.3 生活中的电磁波:微波炉中的两颗葡萄 145
第6章 再谈位势方程 149
6.1 均值性质的应用 149
6.2 Poisson公式的应用 151
6.3 极值原理与Harnack不等式 153
6.3.1 内部梯度估计 154
6.3.2 Harnack不等式的应用 158
6.4 能量方法与变分法 161
6.4.1 方法背景与意义 161
6.4.2 Dirichlet原理 162
6.4.3 极小曲面:变分法的经典案例 164
习题6 167
部分习题解答 168
参考文献 190
附录 191
索引 200