本书获美国数学协会盛赞，被誉为一部“重新定义了如何学习证明写作艺术的开创性教材”。作者精选一系列引人入胜的数学定理，呈现了轻松有趣的初等证明，涵盖数论、组合学、图论、博弈论、几何、无穷、序理论和实分析等多个数学主题。书中不仅有大量生动的图例和深刻的论证，还为每章配备习题，方便读者自学与练习。本书有助于读者养成良好的证明写作习惯，精进证明写作技巧，同时培养数学洞察力和理解力，既是优秀的教材，也适合作为数学爱好者的课外读物。

本书期望帮助读者养成良好的证明写作习惯，精进证明写作技巧，同时培养数学洞察力和理解力，既可用作教材，也适合作为数学爱好者的课外读物，尤其适合数学或相关专业本科生在学习“数学分析”课程之前阅读。

前言 这是一本数学成长书籍，适合那些处在关键时期的学生，他们正在成长为数学家，渴望用数学的通货———证明，向其他数学家传达数学真理。这本书适合那些（也许是第一次认真）学习如何撰写数学证明的学生。我希望展示数学家是如何通过论证确立数学真理的。 证明不仅告诉我们一个数学陈述为真，还解释了它为什么为真，并传达了这个真理。最好的证明让我们洞悉数学现实的本质。它们引领我们走向那些绝妙但可遇不可求的“啊哈！”顿悟时刻，这对任何数学家来说都是欢乐的体验。在那个时刻，一个先前模糊、令人困惑的问题突然变得一目了然，我们的数学视野突然完全穿透了它，一下子就将它彻底把握住。那么，让我们一起学习如何写好证明，构建清晰、正确的数学论证，在逻辑上确立它们的结论，并尽可能展现洞察力和优雅。我将通过本书汇集的各种数学主题进行此种训练。 究竟什么是证明？据说，数学家有时可以免除陪审团职责，因为检察官认为他们不懂得什么是“排除合理怀疑”后证明某事，而这是美国刑事法庭上陪审团定罪时所遵循的证据标准。确实，数学家对证明的证据标准要求非常高，可能高到了检察官不愿意让他们加入陪审团的程度。 数理逻辑家有一种形式证明的概念，这是一种用严格的形式语言书写的详细的证明形式。这些证明通常意图通过计算处理，由机器理解和验证，可以无可辩驳地确立所证定理的有效性，但它们基本上无法为人类所理解，通常除了所证明的原始陈述的真实性之外，很少给我们提供数学洞见。尽管如此，自动定理证明这一新兴领域可能在未来几十年深刻改变数学实践。 在高中几何中，学生通常会学习一种标准的两列形式的证明，在这种形式中，某些类型的陈述允许出现在左列，前提是它们有可接受的理由得到右列的支持。这种形式的证明强调了一个至关重要的特征，即证明必须提供一个推理链条，合乎逻辑地从其前提推导出结论。 与此同时，在当代数学研究写作中，人们发现了一种更加开放灵活的证明格式，以完整的散文句式风格书写，同时保留证明必须在逻辑上确立其结论真实性的典型特征。事实上，这种证明写作的风格已经延续了数千年。例如，如果你打开现已被翻译成几乎所有人类语言的欧几里得《几何原本》，就会发现用引人入胜的开放散文风格论证写成的优美证明。这种证明写作风格贯穿了数学写作的各个时代，直到今天，还填满着我们的数学研究期刊和书籍。 本书所关注的正是这种证明写作风格，数学家用这种开放散文式的论证确立和相互传达数学主张的真实性。为达到本书的目的，我要说：证明是任何足够详细且令人信服的数学论证，它合乎逻辑地由定理的前提确定了其结论。 数学证明自然会使用各种证明方法，这些方法可能会因数学主题的不同而有所不同。例如，我们将在数论中使用数学归纳法进行证明，在组合数学中使用各种计数论证，在博弈论、图论、实分析等领域，则使用这些学科常用的方法。在整个过程中，我们将了解初学者常见的一些陷阱，并在它们出现时强调证明写作的新特征。当然，在我所描述和使用的定理 证明格式范围内，我们可以采用各种证明风格，期望读者能够逐渐形成自己的数学表达方式。 如果必须描述我个人的证明写作风格，我想说，相较于事无巨 细地罗列论证的技术细节（特别是当这些细节可由读者自行补全，或可能会遮盖或分散证明的思想时），我更注重提供深刻的解释，传达论证的本质思想，由此培养读者的数学洞察力和理解力。我经常努力引导读者凭借一系列较小的或明确陈述的数学真理，使更大的结论清晰可见。在我看来，许多数学成就的关键价值在于它们使某些原本艰深的思想变得易于理解。最终，我的目标是培养数学洞察力；我渴望激发读者产生豁然开朗的“啊哈！”时刻。因此，我更喜欢尽可能用朴实的语言写作，或者用普通词语解释一个数学思想，只要它能成功传达预期的数学思想。当然，有时唯一能准确传达数学思想的方式是使用详细的数学符号或形式化表达，这种情况下就必须使用正确的工具。所以，我虽然追求非技术的简洁，但不会以此作为含糊的借口，而是提供更完整的细节或技术符号以满足论证的清晰性要求。 这本书是用ＬＡＴＥＸ排版的。除了图13.2属于公共领域，以及我手绘的图12.1柯尼斯堡桥外，我（专门为这本书）使用 ＬＡＴＥＸ的ＴｉｋＺ工具绘制了所有其他图片。 乔尔·大卫·哈姆金斯 2019年7月

乔尔·大卫·哈姆金斯（Joel David Hamkins） 美国数学家、数学哲学家，2018—2022年任牛津大学逻辑学教授、彼得·斯特劳森爵士哲学研究员；2022年成为美国圣母大学数学和哲学教授。专门研究无穷数学和哲学，在数理逻辑和哲学逻辑、集合论和集合论哲学、可计算理论和群论方面作出了重要贡献。 哈姆金斯曾获数学系杰出教学奖，撰写的“儿童数学”系列博客文章广受好评。2024年，他因本书获得美国数学协会颁发的丹尼尔·索罗作家奖(Daniel Solow Author's Award)。

目录 目 录 前言 1 给教师的话 5 给学生的话 9 关于作者 13 第一章 一个经典的开端 1 1.1 是无理数 2 1.2最简形式5 1.3一个几何证明7 1.4推广到其他根8 数学习惯10 习题12 第二章多种证明 15 2.1 n2 -n 是偶数 16 2.2一个定理，七种证明 17 2.3不同的证明暗示着不同的推广20 数学习惯 21 习题22 第三章数论25 3.1质数25 3.2算术基本定理27 3.3欧几里得除法算法30 3.4算术基本定理的唯一性33 3.5无穷多个质数34 数学习惯38 习题39 第四章数学归纳法41 4.1最小数原理41 4.2一般归纳法42 4.3运用归纳法的几个证明43 4.4证明归纳法原理49 4.5强归纳法49 4.6通过嵌套归纳法解决鱼桶问题52 4.7每个数都有趣55 数学习惯56 习题57 第五章离散数学 61 5.1被指的次数多于指向的次数61 5.2巧克力块问题 64 5.3铺砌问题 65 5.4“逃脱！”游戏68 5.5以和的形式表示整数 71 5.6排列与组合72 5.7鸽笼原理 76 5.8锯齿线定理77 数学习惯79 习题 81 第六章无字证明85 6.1几何和85 6.2二项式平方86 6.3对“无字”方面的批评87 6.4三角数选择88 6.5更多的恒等式89 6.6奇数之和89 6.7斐波那契恒等式90 6.8立方和91 6.9另一个无穷级数92 6.10圆的面积92 6.11用多米诺骨牌铺砌93 6.12如何用图片说谎97 数学习惯100 习题101 第七章游戏理论103 7.1二十一点游戏103 7.2鱼桶游戏106 7.3尼姆游戏108 7.4金币游戏114 7.5咬巧克力游戏117 7.6完全信息博弈119 7.7有限博弈基本定理123 数学习惯127 习题128 第八章皮克定理131 8.1整数格点阵中的图形131 8.2矩形的皮克定理132 8.3三角形的皮克定理134 8.4合并136 8.5三角剖分139 8.6一般情况的皮克定理的证明141 数学习惯141 习题 143 第九章格点多边形147 9.1整数格点阵中的正多边形147 9.2六边形和三角形格点阵150 9.3推广到任意格点阵153 数学习惯154 习题156 第十章多边形剖分全等定理159 10.1多边形剖分全等定理159 10.2三角形转化为平行四边形160 10.3平行四边形转化为矩形161 10.4矩形转化为正方形162 10.5合并正方形163 10.6剖分全等定理的完整证明164 10.7剪刀全等165 数学习惯168 习题169 第十一章函数与关系171 11.1关系171 11.2等价关系173 11.3等价类与划分177 11.4关系的闭包180 11.5函数181 数学习惯183 习题185 第十二章图论189 12.1柯尼斯堡的桥189 12.2图中的回路和路径191 12.3五室难题195 12.4欧拉示性数197 数学习惯198 习题199 第十三章无穷203 13.1希尔伯特大酒店203 13.2可数性208 13.3实数的不可数性214 13.4超越数219 13.5等势221 13.6施罗德康托尔伯恩斯坦定理223 13.7实平面和实直线等势226 数学习惯227 习题228 第十四章序理论231 14.1偏序231 14.2极小元与最小元233 14.3线性序236 14.4序同构237 14.5有理数线是普适的239 14.6最终支配序242 数学习惯24 习题244 第十五章实分析247 15.1连续性的定义247 15.2连续函数的和与积250 15.3仅在一点连续的函数253 15.4上确界原理254 15.5中值定理255 15.6海涅博雷尔定理256 15.7波尔查诺魏尔斯特拉斯定理259 15.8连续归纳原理260 数学习惯265 习题266 习题答案精选269 参考文献283 数学习惯索引285 符号索引288 主题索引289

第五章 离散数学（节选） 5.1 被指的次数多于指向的次数 请你和几个朋友围成一圈，互相以不同方式指向对方。每个人可随意指向一个或多个其他人，或指向自己，或谁也不指。如果你想指向几个人，可以用双手、不同的手指，甚至用脚来指。假设可以重复指向同一个人、几个人，或者自己——尽情发挥吧！可能有些人指得很多，有些人指得较少，被指的情况也是如此。现在，我对你们互相指向的模式能否达到一个特定特征感到好奇。 问题33 能否安排每个人总体上被指的次数比指向某人的次数多？ 换句话说，能否让我们所有人被指向的次数都严格多于我们指向某人的次数？在继续阅读之前，请先自己思考这个问题。 中场休息…… 定理34 答案是否定的，不可能有一个互相指人的非空有限集，使得每个人被指的次数都多于指向某人的次数。 让我们给出几个不同的证明。 第一种证明 假设有一个有限的人群互相指向对方或自己。对于每个人，令“被指得分”是别人指向自己的次数，“指向得分”是自己指向某人的次数，这两个得分实例包括所有多次指向和指向自己的情况。令A为所有被指得分之和，P为所有指向得分之和。我主张P=A。其原因在于，从被指方的角度，也就是手指的另一端来看，每次有人指向某人，同时就有人被指。每个指向的实例都会使P和A同时增加1。然而，如果每个人被指的次数都多于指向某人的次数，那么就会出现P