本研究旨在开发新型高效且稳定的数值算法，以求解特定类型的偏微分方程，突破现有数值方法的局限性，提升数值解的精度、计算效率与稳定性。理论上，为偏微分数值分析理论体系增添新的算法与理论成果，深化对数值方法收敛性、稳定性等特性的理解；实践中，为材料科学等领域的实际工程问题提供更精准、高效的数值模拟解决方案，助力相关领域技术革新与发展。

王旦霞，博士,教授,主讲课程有:高等数学,线性代数,复变函数,概率论与数理统计。研究方向:偏微分方程的理论和数值解：科研相关成果已发表在“Applied Numerical Mathematics”、“Journal of computational and applied mathematics”等期刊，近五年发表Sci论文及中文核心论文近50篇，近五年本人主持了2项山西省自然科学基金；主持了1项山西省归国留学人员项目；主持了2项教改项目，以第一参与人参与了2项国家自然科学基金面上项目和1项国家青年基金。课程建设方面成果： 2019 年获批了省级精品共享课程《复变函数（线上）》建设课程，2024年参与获批了省级精品共享课程《高等数学（线下）》建设课程。发表了教改论文6篇。 '

目 录 第 １ 章 绪 论 /１ １.１ 研究背景 /１ １.１.１ ＭＨＤ模型及其耦合模型 /１ １.１.２ 变密度 Ｅｒｉｃｋｓｅｎ－Ｌｅｓｌｉｅ模型/４ １.２ 研究方法 /５ １.２.１ 压力校正法 /６ １.２.２ Ｇａｕｇｅ－Ｕｚａｗａ法/６ １.２.３ 标量辅助变量法/６ １.２.４ 球面约束保持法 /７ １.３ 研究内容 /７ １.４ 前期准备 /９ 第 ２ 章 不可压ＭＨＤ方程二阶半离散稳定化格式的最优误差估计 /１１ ２.１ 数值格式及其稳定性/１１ ２.１.１ 时间离散格式 /１１ ２.１.２ 能量稳定 /１２ ２.２ 误差估计 /１６ ２.２.１ 初步估计 /１６ ２.２.２ 最优误差估计 /２５ ２.３ 数值模拟 /３０ ２.３.１ 收敛性测试 /３０ ２.３.２ 稳定性测试 /３２ ２.３.３ 高物理参数和效率测试 /３３ ２.３.４ 方腔驱动流 /３５ ２.４ 本章小结 /３６ 第 ３ 章 基于Ｇａｕｇｅ－Ｕｚａｗａ法的变密度ＭＨＤ方程的数值近似 /３７ ３.１ 数值格式及其稳定性 /３７ ３.１.１ 一阶格式 /３７ ３.１.２ 二阶格式 /４０ ３.２ 误差估计 /４５ ３.２.１ 初步估计 /４５ ３.２.２ 最优误差估计 /５０ ３.２.３ 压力的误差估计 /５３ ３.３ 有限元离散格式及其稳定性 /５８ ３.３.１ 有限元格式 /５９ ３.３.２ 有限元方案的稳定性 /５９ ３.４ 数值模拟 /６０ ３.４.１ 收敛性测试 /６０ ３.４.２ 稳定性测试 /６３ ３.４.３ 数值格式的对比 /６４ ３.５ 全解耦格式 /６７ ３.６ 本章小结 /６９ 第 ４ 章 简化的变密度Ｅｒｉｃｋｓｅｎ－Ｌｅｓｌｉｅ系统的全解耦格式的误差分析 /７０ ４.１ 极坐标形式 /７０ ４.２ 数值格式 /７０ ４.２.１ 重写等价系统 /７０ ４.２.２ 一阶时间离散格式 /７２ ４.２.３ 有限元格式与实现 /７４ ４.３ 误差估计 /７７ ４.４ 数值模拟 /９０ ４.５ 本章小结 /９３ 第 ５ 章 惩罚的变密度Ｅｒｉｃｋｓｅｎ－Ｌｅｓｌｉｅ系统的一阶、无条件稳定、全解耦的数值方法 /９４ ５.１ 惩罚的变密度Ｅｒｉｃｋｓｅｎ－Ｌｅｓｌｉｅ系统/９４ ５.２ ＶＤ－ＰＥＬ方程的ＧＵＳＡＶ法 /９５ ５.２.１ 等价系统 /９５ ５.２.２ 时间离散格式 /９６ ５.２.３ 有限元格式及解耦实施 /９９ ５.３ ＶＤ－ＰＥＬ方程的ＧＵＩＶＣＳ法 /１０３ ５.３.１ 时间离散格式 /１０４ ５.３.２ 有限元格式 /１０７ ５.４ 数值模拟 /１１０ ５.４.１ 精度和收敛性检测 /１１０ ５.４.２ 稳定性检测 /１１３ ５.４.３ 方向场的演化 /１１５ ５.４.４ 计算效率 /１１６ ５.５ 本章小结 /１１７ 第 ６ 章 其他 ＭＨＤ 耦合系统的高效数值方法 /１１９ ６.１ 两相 ＭＨＤ 扩散界面模型 /１１９ ６.２ 热耦合不可压 ＭＨＤ 系统 /１２２ 第 ７ 章 总结与展望 /１２６ 参考文献 /１２７