本书由有着三十余年一线“线性代数”课程教学经验的教师团队组织编写，结合现阶段普通高等学校教学实际，有针对性地选取了基本概念、基本定理，分层次选择了典型例题、典型应用。全书共6章，内容包括线性方程组与行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换和线性方程组求解、向量组与线性方程组解的结构、矩阵的特征值与二次型、线性空间与线性变换。全书结构清晰、逻辑性强，从初等数学的线性方程组自然过渡到专业性较强的行列式和矩阵等抽象概念；论述通俗易懂，语言平实，同时穿插部分应用实例，使读者更容易理解；内容贴近最新技术发展趋势，每章都附有扩展阅读，给读者指明了线性代数在应用中的最新方向；题目资源丰富，每章结尾都附有习题，旨在通过课后练习，掌握线性代数典型题目解法，提高读者代数思维。

徐津现任北京电子科技学院基础部副主任，深耕基础学科教学多年，主讲计算机基础、应用数学等课程，教学经验丰富，尤擅将理论知识与密码学应用场景结合，深受学生认可。其学术成果扎实，曾在《北京电子科技学院学报》2010 年第 1 期发表论文，聚焦基础理论与技术应用交叉领域，体现深厚的学术积淀。

第1章 线性方程组与行列式 1
1.1 线性方程组 1
1.2 二阶与三阶行列式 2
1.2.1 二阶行列式 2
1.2.2 三阶行列式 3
1.3 n阶行列式定义 5
1.3.1 排列及其逆序数 5
1.3.2 n阶行列式的定义 6
1.4 行列式的性质 9
1.5 行列式按行（列）展开 15
1.5.1 余子式与代数余子式 15
1.5.2 按一行（列）展开定理 16
1.6 克拉默法则 22
1.7 扩展阅读 25
1.7.1 行列式的几何意义 25
1.7.2 使用MATLAB计算行列式 26
1.8 课后习题 27
第2章 矩阵及其运算 32
2.1 矩阵的概念及应用 32
2.1.1 矩阵的定义 32
2.1.2 几种常用的矩阵 33
2.1.3 矩阵的应用 35
2.1.4 线性方程组的矩阵表示 36
2.2 矩阵的运算 37
2.2.1 矩阵的加法 37
2.2.2 数与矩阵相乘 38
2.2.3 矩阵与矩阵相乘 39
2.2.4 矩阵的转置 43
2.2.5 方阵的行列式 45
2.2.6 共轭矩阵 48
2.3 逆矩阵 48
2.3.1 逆矩阵的定义 49
2.3.2 可逆矩阵的性质 50
2.3.3 逆矩阵在方程组中的应用 52
2.4 矩阵多项式 54
2.5 矩阵分块法 55
2.5.1 分块矩阵的概念 55
2.5.2 分块矩阵的运算 56
2.5.3 矩阵的特殊分块法 60
2.6 扩展阅读 63
2.6.1 谷歌PageRank算法 63
2.6.2 MapReduce 64
2.7 课后习题 65
第3章 矩阵的初等变换和线性方程组求解 69
3.1 矩阵的初等变换 69
3.1.1 高斯消元法 69
3.1.2 矩阵的初等行变换和初等列变换 72
3.1.3 行阶梯形矩阵及行最简形矩阵 72
3.2 初等矩阵 74
3.3 用矩阵的初等变换求逆矩阵 78
3.4 矩阵的秩 80
3.4.1 矩阵的秩的定义 80
3.4.2 矩阵的秩的性质 81
3.5 线性方程组求解 83
3.5.1 齐次线性方程组的解 83
3.5.2 非齐次线性方程组的解 85
3.6 扩展阅读 91
3.6.1 矩阵的初等变换在电路分析中的应用 91
3.6.2 矩阵的初等变换在图像变换中的应用 91
3.7 课后习题 92
第4章 向量组与线性方程组解的结构 95
4.1 向量的定义与运算 95
4.1.1 向量的定义 95
4.1.2 向量的运算 96
4.2 线性表示 97
4.3 线性相关与线性无关 100
4.4 最大线性无关组 102
4.5 向量空间 104
4.5.1 向量空间的定义 104
4.5.2 向量空间的基与维数 105
4.6 线性方程组解的结构 107
4.7 扩展阅读 112
4.7.1 向量空间模型 112
4.7.2 线性网络编码 112
4.8 课后习题 113
第5章 矩阵的特征值与二次型 117
5.1 向量的内积、长度及正交性 117
5.1.1 n元实向量的内积 117
5.1.2 规范正交基 119
5.1.3 正交矩阵及其性质 121
5.2 矩阵的特征值与特征向量 122
5.2.1 特征值与特征向量的概念 122
5.2.2 特征值与特征向量的求法 123
5.2.3 特征值和特征向量的性质 126
5.3 相似矩阵 127
5.3.1 相似矩阵与性质 127
5.3.2 矩阵可相似对角化条件 128
5.4 对称矩阵的对角化 132
5.4.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 132
5.4.2 实对称矩阵的对角化 133
5.5 二次型及其标准形 136
5.5.1 二次型的概念 136
5.5.2 实二次型的标准形 137
5.6 正定二次型 141
5.6.1 惯性定理 141
5.6.2 正定二次型的定义和判定 142
5.7 扩展阅读 144
5.7.1 特征值和特征向量的几何意义 144
5.7.2 正定矩阵和半正定矩阵的几何意义 145
5.8 课后习题 146
第6章 线性空间与线性变换 150
6.1 线性空间与子空间 150
6.2 基与坐标 151
6.3 线性变换 154
6.4 扩展阅读 155
6.4.1 量子力学的向量表示 155
6.4.2 单词的向量表示 156
6.5 课后习题 156