《几何测度论：初学者指南（第5版）》是美国数学家弗兰克·摩根的匠心之作，专为初学者量身打造。本书从基础理论出发，逐步引导读者深入理解几何测度论的核心概念与应用。作者通过丰富的插图和生动的语言，将复杂的几何测度论知识变得直观易懂。书中不仅涵盖了测度论的基本定义和性质，还深入探讨了其在高维空间、曲线曲面几何以及微分几何变分问题中的应用。此外，本书特别新增了对数凸密度猜想这一重要新定理的专题覆盖，以及关于流形的近期研究进展，使读者能够紧跟该领域的学术前沿。无论是学习几何测度论的初学者，还是该领域的研究人员和数学家，都能从本书中获益匪浅。

　　初学者友好
　　弗兰克·摩根教授以其深厚的学术功底和教学经验，将复杂的几何测度论知识转化为清晰易懂的讲解，配以丰富插图和实例，帮助初学者轻松入门，同时为专业学者提供扎实的理论参考。
　　紧跟学术动态
　　本书第5版特别新增了对数凸密度猜想等近期研究成果的专题讨论，并涵盖流形研究的近期进展，让读者在掌握基础理论的同时，了解几何测度论的前沿发展方向。
　　理论与实践并重
　　从测度论基础到高维空间、微分几何变分问题，摩根教授不仅深入解析理论，还注重实际应用，为数学、物理及相关领域的研究者提供了宝贵的跨学科研究工具和思路。

弗兰克·摩根（Frank Morgan）是一位享誉国际的美国数学家，以其深厚的学术造诣和突破性的研究成果在数学界享有盛誉。摩根教授在哈佛大学完成了他的学士学位学习，随后在普林斯顿大学攻读硕士和博士学位，师从几何分析学家威廉·特劳布里奇（William H. Trotter）教授。目前，摩根教授担任美国威廉斯学院的数学教授，同时，他还曾在多所知名大学担任访问教授和客座教授，积累了丰富的数学教学和研究经验。他的研究兴趣广泛，聚焦于曲线和曲面的几何性质、测度论在高维空间中的创新应用，以及微分几何中的复杂变分问题。摩根教授的研究不仅深入理论层面，还积极探索其在多个领域的实际应用，展现了其跨学科的综合能力。

Contents

Preface vii

Part I: Basic Theory 1

1Geometric Measure Theory 3

2Measures 11

3Lipschitz Functions and Recti?able Sets 25

4Normal and Recti?able Currents 39

5The Compactness Theorem and the Existence of Area-Minimizing Surfaces 61

6Examples of Area-Minimizing Surfaces 69

7The Approximation Theorem 79

8Survey of Regularity Results 83

9Monotonicity and Oriented Tangent Cones 89

10The Regularity of Area-Minimizing Hypersurfaces 97

11Flat Chains Modulo, Varifolds, and -Minimal Sets 105

12Miscellaneous Useful Results 111

Part II: Applications 119

13Soap Bubble Clusters 121

14Proof of Double Bubble Conjecture 143

15The Hexagonal Honeycomb and Kelvin Conjectures 159

16Immiscible Fluids and Crystals 173

17Isoperimetric Theorems in General Codimension 179

18Manifolds with Density and Perelmans Proof of the Poincaré Conjecture 183

19Double Bubbles in Spheres, Gauss Space, and Tori 197

20The Log-Convex Density Theorem 205

Solutions to Exercises 213

Bibliography 235

Index of Symbols 255

Name Index 257

Subject Index 259