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概率统计中的案例与仿真——从直觉走向理性 
定 价：68 元
9 7 6 8 9 7 1 3 5 0 6 2 3 读者对象:本书可作为应用数学、应用统计学等专业的本科生的教学和科普参考书, 同时也适合数据科学的爱好者、从事数据处理的研究生和科技工作者阅读参考  本书通过典型案例、反例及仿真分析，深入解析概率统计理论与应用。书中以概率统计教学及军事靶场试验为背景，融合线性代数、数据分析等课程知识，在应用中阐述随机事件与概率、随机变量、数理统计方法等核心内容。 本书有三大特色：优质，为军服务经典案例贴切实战；第二，反例与案例结合，正演反演双向逻辑推理；第三，反例、案例与仿真首尾闭环，论证严谨结论清晰。
概率统计中的案例与仿真
——从直觉走向理性 何章鸣唐扬斌编著清华大学出版社北京内 容 简 介本书通过典型案例、反例及仿真分析，深入解析概率统计理论与应用。书中以概率统计教学及军事靶场试验为背景，融合线性代数、数据分析等课程知识，在应用中阐述随机事件与概率、随机变量、数理统计方法等核心内容。 本书特色鲜明：一是立足实践，案例均源于真实场景，特别是军事靶场试验，突出理论在国防与工程领域的实际应用；二是注重实操，提供可复现代码，便于读者掌握数据处理与模型构建方法；三是强调逻辑与价值统一，兼顾直觉思维与严谨推理，实现知识传授与价值引领结合。 本书适合作为应用数学、应用统计学等专业本科生教学与科普读物，也可供数据科学爱好者、从事数据处理的研究生及科技工作者参考，助力提升理论水平与实践能力。 本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。 版权所有，侵权必究。举报： 01062782989， beiqinquan@tup.tsinghua.edu.cn。图书在版编目（CIP）数据 概率统计中的案例与仿真:从直觉走向理性/何章鸣,唐扬斌编著.\|\|北京:清华大学出版社, 2025.5.\|\| ISBN 978\|7\|302\|69156\|3 Ⅰ.O211 中国国家版本馆CIP数据核字第2025NM2425号 责任编辑： 陈凯仁 封面设计： 刘艳芝 责任校对： 欧洋 责任印制： 刘菲 出版发行： 清华大学出版社 网址： https://www.tup.com.cn， https://www.wqxuetang.com 地址： 北京清华大学学研大厦A座邮编： 100084 社总机： 01083470000邮购： 01062786544 投稿与读者服务： 01062776969, cservice@tup.tsinghua.edu.cn 质量反馈： 01062772015, zhiliang@tup.tsinghua.edu.cn 印装者： 三河市天利华印刷装订有限公司 经销： 新华书店 开本： 185mm×260mm印张： 16.75插页： 3字数： 414千字 版次： 2025年7月第1版印次： 2025年7月第1次印刷 定价： 68.00元 产品编号： 10615501在概率论与数理统计的领域中，直觉、推理与仿真，三者常常构成一种矛盾而又统一的奇妙关系。就好比在统计中，我们常用“均值”与“中位数”这两个统计量来描绘身高水平。通过问卷调查发现，许多人凭借直觉认定中位数的计算更为快捷，毕竟中位数的求解无需进行复杂的实数运算，只要掌握排序和计数的方法就行。然而，从推理的角度来看，均值的计算其实更为高效。这是因为均值的计算复杂度为O(n)，而若用冒泡排序法来求中位数，其计算复杂度却高达O(n2)。推理得出的结论固然可靠，可推理过程有时却过于抽象，让人难以直观把握。在这种情况下，仿真就成为了验证推理与直觉结论的得力助手。仿真结果清晰地显示：均值的计算速度要远远快于中位数。尤其当n达到1010之巨时，中位数那庞大的运算量甚至会使普通个人计算机陷入死机状态。这个案例充分说明，直觉带来的结论并非总是可靠，我们需要借助推理来弥补直觉的缺陷，同时利用仿真验证来化解推理的抽象性。 直觉与推理之所以会出现不一致，根源或许在于我们长期习惯了“确定性”与“线性”的思维模式，而真实的客观世界却充满了“不确定性”与“非线性”，这也正是概率统计这门学科独特的魅力所在。在概率论与数理统计的学习、讲授以及讲课比赛筹备过程中，我们不断发现，在生活、生产和各类试验场景里，存在着大量直觉与推理相互矛盾的疑惑、案例和反例。这些意外的不一致性，给我们带来了诸多惊喜。带着这份惊喜，我们按照教科书的结构框架，以“直觉—推理—仿真”的逻辑思路，精心梳理并组织了这些有趣的内容，这便是本书诞生的初衷。 本书有意避开抽象晦涩的证明方式，而是采用答疑解惑、趣味游戏、生动故事、典型研究案例、奇妙悖论反例以及直观仿真曲线等丰富多样的形式，来阐释概率与统计的相关理论。这个阐释过程或许比传统的符号证明更加耗费时间和精力，却也更需要我们发挥发散性与创造性思维。我们衷心希望，通过我们的努力，能让读者在阅读时感到轻松愉悦，进而理解并领略概率统计的独特魅力与趣味。本书尤其适合以下三类读者： 优质，概率统计学习者。当你在面对抽象理论感到疲惫不堪，对某个专业术语困惑不解，甚至在心底渐渐滋生“读书无用论”的念头时，不妨翻开这本书。在这里，你可能会惊喜地发现，验证过程远比枯燥的证明更有趣味，生动的案例故事有时也比抽象的符号推理更加引人入胜。学习就像一场充满挑战的艰苦旅行，我们往往太过急切地渴望抵达终点，却忘记了沿途还有许多美好的故事与风景，甚至忽略了那些沿途的景色或许远比终点更加美丽动人。 第二，概率统计教育工作者。相较于学生，老师们最大的自由在于无需承受考试的压力与恐惧，能够拥有更多时间去慢慢思考。但与此同时，工作和生活的新压力也接踵而至，让大家未必有闲暇去重拾曾经被遗漏的那些教学故事与知识风景。当您在整理相关案例、反例、仿真应用场景时，不妨随手翻翻这本书，说不定它能为您理解相关问题提供一个全新的视角。 第三，讲课比赛筹备科研工作者。本书中的众多科研案例都是不可多得的讲课比赛素材，其中一些大型案例更是源自教学能力比赛、湖南省研究生案例、院校数学中青年教员教学比赛、国防科技大学教学能手比赛等赛事作品。这些案例从最初起草到最终定稿，历经漫长时间，经过多次修改完善，实属来之不易。 我们推荐读者结合国防科技大学吴翊等主编的《概率论与数理统计》进行阅读，因为本书的章节编排与上述教材恰好相互对应。为了方便读者能够顺利复现书中的试验结果，我们尽可能提供了详尽的MATLAB 2023a仿真代码。由于作者自身理论水平与研究经验有限，书中难免存在不足之处与疏漏错误，恳请广大读者不吝批评指正。 本书由何章鸣负责起草与统稿工作，唐扬斌为本书提供了大量素材，并提出诸多宝贵修改建议，还一同攻克了许多颇具难度的思考题，为本书的顺利完成贡献了重要力量。在此，我们衷心感谢杨文强、胡庆军、周海银、王炯琦、侯臣平、段晓君、刘吉英、谢华英、晏良等老师参与的有益讨论；感谢国防科技大学概率论与数理统计课程组的王泽龙、赵振宇、陶红、周萱影、余奇、黄彭奇子、邓娟、刘琰、肖意可、赵城利、海昕、文军、刘春林、徐佳等老师，以及课程组外的戴新宇、罗永等老师，部分精彩案例得益于与大家的热烈讨论和深度交流。 同时，我们诚挚感谢国防科技大学概率论与数理统计课程建设经费，以及“支撑一流工科的统计类数学公共课教学实践研究——以《概率论与数理统计》为例（项目编号：U2023201）”项目的资助。特别要感谢清华大学出版社陈凯仁编辑在本书出版全过程中给予作者的支持。 作者2024年10月于长沙概率统计中的案例与仿真——从直觉走向理性前言第1章随机事件与概率1 1.1随机现象与数据1 1.1.1一论飞行器差分求速——奇妙的无穷小1 1.1.2抽球悖论——奇妙的无穷大2 1.1.3从折纸看直觉、实践与推理的差异3 1.1.4从硬币试验看直觉思维与理性思维5 1.1.5从硬币试验看概率论与数理统计5 1.1.6样本均值和中位 何章鸣,博士，硕导，副教授。长期从事信息融合理论与应用、战场信息感知等领域的研究与系统开发工作。主持参与国家自然科学、军民融合、装备预研等项目二十余项。发表科研论文50余篇，合作出版著作4部，授权国家发明专利20余项，登记软件著作权2项.获学院学校新星教师奖1项，获湖南省研究生教学案例奖1项，获专业技术人才三类岗位津贴1次，获职业院校教学能力比赛一等奖1项，获技术发明奖二等奖1项，获科技进步奖三等奖1项。
目录
第1章随机事件与概率1 1.1随机现象与数据1 1.1.1一论飞行器差分求速——奇妙的无穷小1 1.1.2抽球悖论——奇妙的无穷大2 1.1.3从折纸看直觉、实践与推理的差异3 1.1.4从硬币试验看直觉思维与理性思维5 1.1.5从硬币试验看概率论与数理统计5 1.1.6样本均值和中位数的计算复杂度6 1.1.7平均数和中位数的稳健度7 1.1.8考分是数字还是随机变量8 1.2随机事件9 1.2.1样本空间与事件域不是优质的9 1.2.2事件的常见假命题9 1.2.3清晰事件和模糊事件10 1.3概率的定义与性质10 1.3.1一论硬币实验——频率与概率10 1.3.2有限可加与可列可加11 1.3.3贝特朗悖论12 1.4等可能概型12 1.4.1协同轰炸问题——古典概型13 1.4.2协同过桥问题——几何概型14 1.4.3蒙提霍尔悖论——信息泄露16 1.4.4田忌赛马获胜的概率实质18 1.4.5巴拿赫火柴盒问题18 1.4.6生日同天问题19 1.4.7抽签原理的担忧20 1.4.8停战谈判的概率实质20 1.4.9恋爱年数21 1.5条件概率与独立性23 1.5.1条件概率和无条件概率23 1.5.2事件互斥和事件相互独立24 1.5.3彭尼游戏的概率实质25 1.5.4观棋不语的概率实质29 1.5.5星期二男孩的概率实质29 1.5.6两两独立与相互独立30 1.6全概率公式与贝叶斯公式31 1.6.1从寓言故事到绕岛军演31 1.6.2少数派获胜的概率实质33 1.6.3再论蒙提霍尔悖论34 1.6.4萨达姆被捕的概率推断36 1.6.5从阳性与患病看贝叶斯思想37 1.6.6从犬吠与贼偷看贝叶斯思想38 1.6.7一次答疑引起的思考38 1.6.8举证困难的追责问题42 1.6.9输光原理与全概率公式42 1.6.10输光原理的仿真验证44 第2章随机变量47 2.1随机变量的基本概念47 2.1.1随机变量具有随机性吗47 2.1.2随机变量一定是单射吗47 2.1.3随机变量的抽象意义48 2.2离散型随机变量及其分布律48 2.2.1输光分布律和马尔可夫链48 2.2.2雨伞问题52 2.2.3二项分布的分布律最大值53 2.2.4泊松分布的分布律最大值54 2.2.5五局三胜还是七局四胜54 2.2.6协同作战与独狼行动55 2.2.7泊松分布与二项分布的优势56 2.3连续型随机变量及其密度函数57 2.3.1连续型随机变量的密度未必连续57 2.3.2分布函数连续未必对应连续型58 2.3.3密度与随机变量的对应关系59 2.3.4关于电子产品寿命的思考59 2.3.5零概率事件未必不可能发生61 2.3.6正态分布的仿真62 2.4分布函数63 2.4.1随机变量的分类63 2.4.2几个易混淆的关联概念64 2.4.3作训后勤线路选择问题65 2.4.4协同作战等待时长的分布类型66 2.4.5混合高斯分布属于混合分布吗67 2.4.6混合分布是连续分布与离散分布的加权平均吗68 2.5随机变量函数的分布70 2.5.1连续型随机变量的函数未必是连续型70 2.5.2不同随机变量的函数可能服从相同分布71 第3章多维随机变量72 3.1二维离散型随机变量72 3.1.1二维离散型随机变量的典型案例72 3.1.2二维离散型随机变量的典型分析思路73 3.2二维连续型随机变量73 3.2.1二维连续型随机变量的典型案例73 3.2.2二维连续型随机变量的典型分析思路74 3.2.3蒲丰投针及其仿真试验75 3.2.4一论圆概率误差76 3.3联合分布函数77 3.3.1离散型联合分布的典型形态77 3.3.2边缘密度无法决定联合密度77 3.3.3协同作战中的联合分布80 3.4边缘分布81 3.4.1非零密度区域的边界表达式81 3.4.2联合正态分布的边缘分布和条件分布83 3.4.3均匀分布的边缘分布未必是均匀分布84 3.4.4非均匀分布的条件分布可能是均匀分布86 3.5条件分布与独立性86 3.5.1随机变量独立的条件86 3.5.2随机变量两两独立未必独立87 3.5.3正态分布之和未必服从正态分布88 3.5.4木棒截断悖论88 3.6二维随机变量的变换及函数的分布90 3.6.1独立随机向量的变换可能不独立90 3.6.2不独立随机向量的变换可能独立91 3.6.3变换可改变分布的类型91 3.6.4正态分布之和未必是正态分布92 3.6.5后勤联运的可靠性——极小值的分布92 3.6.6卷积公式和z\|x图93 3.6.7函数与变换的区别95 3.6.8分布的可加不变性96 第4章随机变量的数字特征97 4.1数学期望97 4.1.1再论协同轰炸问题97 4.1.2如何区分均值和期望98 4.1.3哪个射手的水平更高98 4.1.4期望的非常收敛约束99 4.1.5协同穿越问题102 4.1.6单拱架桥问题103 4.1.7可加性的简易证明方法105 4.1.8不存在期望的离散型随机变量105 4.1.9不存在期望的连续型随机变量106 4.1.10电梯问题106 4.1.11停战谈判问题再讨论108 4.1.12秩序的重要性111 4.1.13独立随机变量的期望112 4.1.14函数的期望未必等于期望函数112 4.1.15协同作战等待时长112 4.1.16一论凯利公式——投注策略113 4.1.17圣彼得堡悖论——期望不存在116 4.2方差117 4.2.1一定要选拔高水平选手吗117 4.2.2百发百中与一发一中119 4.2.3信息融合和“位高权重”的关系120 4.2.4切比雪夫不等式的意义120 4.2.5密度平均和样本平均的方差121 4.2.6差的方差不等于方差之差122 4.2.7再论凯利公式——方差特性122 4.2.8常用分布的期望和方差125 4.3协方差、相关系数、矩与协方差阵125 4.3.1似是而非的相关125 4.3.2独立性与不相关性126 4.3.3不相关的两个正态随机变量未必独立126 4.3.4不相关的两个随机变量未必独立127 4.3.5低阶距存在未必高阶矩存在128 4.3.6啤酒和尿布的故事是真的吗128 4.3.7独立随机变量的正交变换未必独立129 第5章大数定律与中心极限定理130 5.1大数定律130 5.1.1定律与定理130 5.1.2服从大数定律的内涵131 5.1.3依概率收敛的内涵131 5.1.4数列收敛与依概率收敛131 5.1.5依概率收敛未必几乎处处收敛132 5.1.6依概率收敛必然依分布收敛133 5.1.7几个大数定律的关联134 5.1.8再论硬币试验135 5.1.9三论硬币试验136 5.1.10用数值试验和直方图验证大数定律137 5.2中心极限定理141 5.2.1中心极限定理的里程碑141 5.2.2标准化的过程142 5.2.3典型分布的标准化143 5.2.4指数分布的标准化144 5.2.5均匀分布的标准化146 5.2.6图书馆配套座位数150 5.2.7发射井的数量152 5.2.8再论发射井的数量153 5.2.9生日问题再讨论154 5.2.10不服从中心极限定理的反例154 5.2.11切比雪夫不等式与中心极限定理155 5.2.12三论凯利公式——大数据特性155 第6章数理统计的基本概念158 6.1统计推断概述158 6.1.1幸存者偏差——逝者不说话158 6.1.2朋友悖论——我的朋友真的少吗159 6.1.3二论飞行器差分求速——降曲技术160 6.2抽样分布164 6.2.1测速雷达消噪方法164 6.2.2从正态分布走来167 6.2.3样本均值与方差的独立性172 6.2.4多维正态分布的若干结论174 6.2.5极限定理与抽样分布定理的关系174 6.2.6常用分布关联图谱175 6.2.7样本方差的系数175 6.2.8变异系数不能消除偏置系数的影响176 6.2.9若干分布的可加性176 6.2.10统计量的计算复杂度176 6.2.11卡方分布期望与自由度177 6.2.12t分布与标准正态分布177 6.2.13分位点的性质177 第7章参数估计179 7.1点估计179 7.1.1矩估计的局限性179 7.1.2常用分布的参数估计180 7.1.3泊松分布参数的估计182 7.1.4渐进无偏估计未必是相合估计182 7.1.5无偏估计的函数未必是无偏的183 7.1.6魔盒游戏引发的思考183 7.1.7极大似然的思想184 7.1.8未战而庙算胜——估算枪支的数量184 7.1.9以算求胜，深算制胜——新兵老兵问题186 7.1.10知彼知己，百战不殆——虎式坦克的数量188 7.1.11知彼知己，百战不殆——估计量的评价准则190 7.1.12总群数量的估算193 7.1.13再论圆概率误差194 7.1.14费希尔信息量、香农信息熵与方差的关系195 7.1.15如何理解克拉默拉奥下界199 7.2区间估计199 7.2.1球场找针的故事199 7.2.2良种粒数的范围200 7.2.3测控雷达的可靠度鉴定200 7.2.4军工器件的测量精度202 7.2.5飞行器速度的置信区间203 7.2.6炮弹方差的置信区间203 7.2.7火箭燃烧率的置信区间204 7.3贝叶斯估计204 7.3.1再论新兵老兵问题204 7.3.2再论百发百中与一发一中206 7.3.3再论命中率问题207 第8章假设检验209 8.1引言209 8.1.1导弹脱靶量鉴定中的假设检验问题209 8.1.2杂质检验中的原假设与风险210 8.2正态总体参数的假设检验211 8.2.1小概率原则悖论211 8.2.2再论导弹脱靶量鉴定212 8.2.3杂质检验对应的假设检验过程216 8.2.4罗曼诺夫斯基硬币试验的再审视217 第9章回归分析219 9.1一元线性回归模型219 9.1.1父子身高关系的回归问题219 9.1.2铜棒膨胀系数的回归问题220 9.2多元线性回归模型221 9.2.1三论飞行器差分求速——降噪技术221 9.2.2再论铜棒膨胀系数223 9.2.3测速雷达求速原理225 9.2.4导航中的主元估计225 9.2.5基于状态转移矩阵求先验概率228 9.2.6导航方程的求解229 9.2.7食谱方程的求解238 参考文献245 附录246 索引250 后记253
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