本教程是为教育部101计划编写的数学方向微分几何教材。内容紧贴101计划几何组工作会议提出的大纲。分为三个大的章节：第一章介绍古典曲线和曲面的微分几何，重点围绕曲率这一核心概念展开。第二章以高斯绝妙定理为开端，引入内蕴几何学的观点，介绍曲面上协变导数，平行移动，测地线，指数映射等概念，最终推向高斯博内公式和常曲率空间的分类简述。第三章以黎曼著名的就职演说为出发点，引出了流形的概念。该章重点是介绍流形上的微积分学，以微分形式为贯穿，最终介绍De Rham上同调和De Rham定理。而流形上带度量的讨论就留给后续的黎曼几何课程了。

来米加
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来米加，上海交通大学数学科学学院教授，毕业于爱荷华大学主要研究几何分析、椭圆性偏微分方程正则性原理。

第一章曲线和曲面的局部理论 1.1 空间曲线理论 1.2 曲面 1.3 Gauss 映射及其微分 1.4 第二基本形式之代数 1.5 第二基本形式之几何 1.6 曲率之局部坐标计算 1.7 Gauss 映射像的面积 1.8 Fenchel, Fary-Milnor 定理 第一章练习 第二章曲面内蕴几何学 2.1 Gauss 绝妙定理 2.2 协变导数、平行移动 2.3 测地线 2.4 Gauss-Bonnet 公式 2.5 指数映射 2.6 测地完备、Hopf-Rinow 定理 2.7 抽象曲面 *2.8 常曲率空间分类 2.8.1 内蕴分类 2.8.2 外蕴分类: 常Gauss 曲率曲面 2.8.3 外蕴分类: 常平均曲率曲面 *2.9 带符号曲率曲面简介 2.9.1 正曲率: Bonnet 定理 2.9.2 非正曲率: Hadamard 定理 第二章练习 第三章光滑流形 3.1 流形 3.2 切空间 3.3 向量场 3.4 分布、Frobenius 定理 3.5 微分形式 3.5.1 微分形式之代数 3.5.2 微分形式之分析 3.6 de Rham 上同调 3.6.1 同伦不变性 3.6.2 Mayer-Vietoris 序列 3.7 积分和Stokes 定理 *3.8 de Rham 定理简介 3.8.1 奇异同调 3.8.2 de Rham 定理 *3.9 Hodge 定理简介 第三章练习 附录A 分析、代数工具 A.1 二次型 A.2 反函数定理 A.3 单位分解 A.4 曲面特殊参数化的存在性 附录B 拓扑事实 B.1 旋转指标定理 B.2 Jordan 曲线定理 B.3 闭曲面拓扑分类 B.4 基本群 B.5 覆盖映射 参考文献