本书旨在展现数学魅力和作者研究成果, 内容分为两部分: 第一部分为 基础知识, 以高中数学为起点, 通俗易懂地介绍经典不等式、抽屉原理、素 数与算术基本定理、组合数与组合恒等式、同余概念与性质以及代数方程；第二部分为较高级知识, 由浅入深地介绍连分数、同余覆盖系、二次互反律、 二元二次型、Chebyshev 多项式、Legendre 多项式、分拆数、线性递推序列、 组合数等距求和、不变序列、Stirling 数、Bernoulli 数、p-正则函数、三(四) 次同余式、二项式系数同余式、类似 Apéry 数、差集和群的概念等美妙知 识, 其中包含了作者的许多相关成果. 此外, 第一讲介绍数学的本性和特点, 最后的附录介绍数学英雄 Euler.

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目录
前言
常用记号
第1讲 数学是什么 1
1.1 数学的本性 1
1.2 数学的特点 2
参考读物 4
第2讲 经典不等式 5
参考读物 12
第3讲 抽屉原理与Ramsey定理 13
3.1 抽屉原理 13
3.2 Ramsey数 R(n, k) 15
参考读物 18
第4讲 组合数与组合恒等式 19
参考读物 28
第5讲 连分数与Pell方程 29
5.1 辗转相除法 29
5.2 有限连分数 30
5.3 无限连分数 32
5.4 循环连分数 39
5.5 d连分数与Pell方程 43
参考读物 49
第6讲 代数方程 50
参考读物 60
第7讲 素数与同余方程 61
7.1 素数 61
7.2 同余概念与性质 64
7.3 Fermat小定理和Wilson定理 65
7.4 同余方程 67
参考读物 68
第8讲 同余覆盖系 69
参考读物 78
第9讲 二次互反律 79
参考读物 86
第10讲 Chebyshev 多项式 87
参考读物 92
第11讲 Legendre多项式 93
参考读物 101
第12讲 sin x的无穷乘积公式 102
参考读物 106
第13讲 二元二次型 107
参考读物 122
第14讲 分拆数与因子和 123
参考读物 132
第15讲 Stirling数 133
参考读物 148
第16讲 p-正则函数 149
参考读物 157
第17讲 Bernoulli数与 Euler数 158
17.1 Bernoulli数与Bernoulli多项式 158
17.2 Euler数与Euler多项式 170
参考读物 177
第18讲 线性递推序列与三、四次同余式 179
18.1 高阶递推序列 179
18.2 Lucas序列 185
18.3 三、四次同余式 190
参考读物 199
第19讲 组合数等距求和公式及其应用 201
19.1 Tnr(3)与Tnr(4)公式及其应用 201
19.2 Tn r(5)与Tnr(6)公式 206
19.3 Sr(n)递推关系与Tnr(9)公式 211
19.4 Tnr(8)公式与Pell数同余式 218
19.5 Tnr(10)公式与Fibonacci数同余式 223
19.6 Tnr(12)公式 231
19.7 与Tnr(m)有关的同余式 234
参考读物 236
第20讲 不变序列与反不变序列 237
20.1 不变序列例子与转换关系 237
20.2 不变序列的递推关系 249
20.3 不变序列的变换公式 259
20.4 不变序列的同余式 263
参考读物 267
第21讲 二项式系数的同余式 268
21.1 单个二项式系数和的同余式 268
21.2 两个二项式系数乘积之和的同余式 281
21.3 三个二项式系数乘积之和的同余式 308
参考读物 325
第22讲 类似Apéry数 328
22.1 三项递推序列的恒等式与同余式 328
22.2 第一类Apéry-like数 332
22.3 第二类Apéry-like数 365
参考读物 390
第23讲 群的概念与性质 395
23.1 群的定义与例 395
23.2 陪集与Lagrange定理 399
23.3 子群与正规子群 401
23.4 群的同构 403
参考读物 404
第24讲 三、四次剩余 405
24.1 Euler与Gauss关于三、四次剩余的工作 405
24.2 三次互反律及其优先权争论 407
24.3 Dirichlet, Scholz和Burde的有理四次互反律 409
24.4 用群表述的有理三、四次互反律 410
24.5 用二元二次型判别三、四次剩余 413
参考读物 414
第25讲 对称设计与差集 416
25.1 对称设计 416
25.2 差集 419
参考读物 422
附录 数学英雄Euler 423
参考读物 427