《算术基础》是德国数学家、哲学家G.弗雷格的经典著作，也是数理逻辑与分析哲学的奠基之作。弗雷格试图从逻辑角度给数下严格的定义，他首先批判地考察了施罗德、密尔、洛克、莱布尼茨、贝克莱等人关于数的观点，并在此基础上提出自己的核心命题：数的陈述包含的是对概念的断言；每个数自身是独立自存的对象，数词表示的是专名；数不是主观的表象，而是客观的对象；对象和概念都是客观的实在。弗雷格通过一系列的分析与总结，最终给出了0、跟随（后继）、1和自然数等概念的严格定义。这些极具洞见的观点对后来分析哲学特别是语言哲学和数学哲学的发展具有深远影响。使用。数不是通过事物和事物之间的并列附加而形成。大量聚集与多数这些表述因其自身的不确定性，不适
合起到定义数的作用。从一与单位出发来定义数的做法也是不成功的，因为一和单位之间关系的问题，即如何限定任意的理解会使得一和多之间的差异消失不见。弗雷格认为，
既然以往学者定义数的努力失败了，我们必须另辟路径，从数的相等的语境中去追问数的公式的涵义，并给出了一个数相等或重认的标准，通过考察休谟原则（一一对应）以及几何学中
平行线与方向相等的关系，弗雷格最终提出其核心的命题，认为数的陈述包含的是对概念的断言，每个数自身是独立自存的对象，数词表示的是专名，数不是主观的表象，而是客观的对
象，一个对象属于一个概念就叫那个对象落在那个概念之下。对象和概念都是客观的实在。数的陈述包含的是对一般概念的断言，而每个具体的数意谓的是独立的对象。每个数词就是不同的专名，专名意谓具体的不同的对象。根据弗雷格的关于概念和对象之间的区分，不同的数意谓的是不同的对象，关于数的表达式表达的是概念，而不是对象。比如木星有 4 个卫星这一表达式其实表达的是有 4 个对象落到木星的卫星数这一概念之下。弗雷格通过一系列的分析与总结，最终给出了 0、跟随（后继）、 1和自然数等概念的严格定义，认为归属于概念 F 的基数就是与概念 F 相等数的概念的外延 1。弗雷格的这些极具洞见的观点对后来分析哲学特别是语言哲学和数学哲学发展影响深远。

长期以来，西方学界将摩尔、罗素与维特根斯坦视为分析哲学的主要创始人，但是随着 20 世纪中后期弗雷格的德文著作在英语世界中逐渐被编译与传播开来，人们才重新认识到弗雷格作为分析哲学之父的重要历史地位，以及他对后来分析哲学发展的巨大贡献。戈特洛布· 弗雷格（ Gottlob Frege,
18481925）是德国著名的数学家、逻辑学家和哲学家，是数理逻辑与分析哲学的奠基人。在学界，弗雷格被公认为自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。虽然弗雷格一生主要在耶拿大学的数学系任教，但是他的研究兴趣却并不限于纯数学领域，他对于逻辑学、数学基础与哲学问题都很感兴趣，创造性地发展出一种超越西方传统逻辑的现代数理逻辑系统，对现代逻辑学的发展起到了革命性的推动作用。虽然弗雷格在生前一直默默无闻，没有引起人们应有的关注与重视，但是在其死后的近一个世纪以来，其极具创造性与深刻的思想影响了分析哲学发展的主流，塑造了分析哲学的主要研究范式与形态。
弗雷格于 1884 年首次出版的《算术基础》这本小册子高度浓缩了其成熟时期的哲学思想，该书虽然不厚，只有短短100 来页，但是在弗雷格思想中处于核心地位。这本小册子被学界称为分析哲学第一部著作。 1 罗素曾经在其《数理哲学导论》中这样评论弗雷格的这本小册子，认为尽管这本书相当简短，并不困难，但却极具重要性，它几乎没有引起人们的关
注，它所包含的数的定义一直以来默默无闻，直到本书的作者在 1901 年才重新发现这点 2。罗素这些话当然有些夸大，但是不可否认的是，罗素本人对弗雷格的这些哲学思想是非常推崇的，他在数学基础问题上和弗雷格一样，也逐渐成为逻辑主义的主要倡导者。另外，维特根斯坦终其一生对弗雷格的哲学思想都是非常推崇的，尽管他在不同的时期对弗雷格的思想有所反思与批评，他在其生命之作《逻辑哲学论》的序言中提到我只想提到，对我思想的激励大都归功于弗雷格的伟著和我的朋友罗素先生的著作 3。《算术基础》也被英国著名哲学家达米特（ Michael Dummett）誉为迄今写下的几乎最完美的唯一一部哲学著作 1。《算术基础》主要是试图从逻辑角度给数下严格的定义，并在该书的序言中提出了哲学研究三原则， 2 并将这三条原则应用到数的概念的分析中去，认为逻辑与数学研究的对象是客观的对象，而不是主观的、心理的表象；数不是物理的东西，也不是主观的东西，不是表象，而是客观的实体，存在于第三领域 3。弗雷格批判地考察了施罗德、密尔、洛克、莱布尼茨、贝克莱等人关于数的观点，认为数既不是像施罗德所讲的是事物的性质，也不是密尔所主张像小石子那样的空间的普通物理对象的堆集，也不是像洛克和莱布尼茨所说的那样只是观念中的东西，更不是贝克莱所讲的数只是心灵的创造，而是一种客观的东西。
弗雷格认为，数并不是通过像事物的颜色、重量以及硬度的抽象方式抽象而来的东西，数词不能作为形容词来加以

戈特洛布弗雷格（Gottlob Frege，18481925）德国著名的数学家、逻辑学家和哲学家，数理逻辑与分析哲学的奠基人。主要著作有《概念文字》（Begriffsschrift）、《算术基础》（Die Grundlagen der Arithmetik）、《算数的基本规律》（Grundgesetze der Arithmetik）。
译者徐弢，安徽潜山人，南开大学哲学博士，湖北大学哲学学院副教授，长期从事分析哲学史、语言哲学、数学哲学、特别是维特根斯坦与弗雷格哲学研究。

序 言
1 近年来，在数学中已明显地呈现出一种努力追求严格证明与精确理
解概念的趋势。 _27
2 这种严格的考察最终也涉及基数的概念本身。证明的目的。 _29
3 这种研究的哲学动机：对于数的法则是分析的真还是综合的真，是
先天的还是后天的问题的争论。这些表达式的涵义。 _31
4 本书的任务。 _33
I 某些学者关于算术命题性质的观点
数的公式是可证的吗？
5 康德否认汉克尔有理由称为悖论的东西。 _35
6 莱布尼茨关于 2 2 = 4 的证明有一个漏洞。格拉斯曼关于 a b
的定义是有缺陷的。 _39
7 密尔关于单个数的定义断定了可观察的事实，由此而来的计算的观
点是没有根据的。 _43
8 就合法性而言，这些定义并不需要对那些事实的观察。 _47
算术的法则是归纳的真吗？
9 密尔的自然法则。在把算术的真称为自然法则时，密尔混淆了算术
的真与它的应用。 _51
10 反对加法法则是归纳的真的理由：数的异质性；我们并没有通过定
义而获得一个数的共同特性的集合。很可能反过来，归纳是以算术
为基础的。 _55
11 莱布尼茨的天赋的。 _61
算术的法则是先天综合的还是分析的？
12 康德。鲍曼。利普希茨。汉克尔。内在直观作为知识基础。 _63
13 算术和几何的区分。 _67
14 就其应用领域而言，不同种类的真之间比较。 _69
15 莱布尼茨和耶芳斯的看法。 _71
16 反对他们的观点，密尔对语言的巧妙运用的嘲弄。记号并不因
为它不意谓可感知的事物就是空洞的。 _73
17 归纳的不充分性。数的法则是分析判断的猜想；使用它们的情况如
何。对分析判断的价值评估。 _75
II一些学者关于基数概念的观点
18 研究基数的普遍概念的必要性。 _77
19 定义不能是几何学的。 _79
20 数是可定义的吗？汉克尔。莱布尼茨。 _81
基数是外在事物的一种性质吗？
21 G. 康托尔与 E. 施罗德的观点。 _83
22 反对他们的观点，鲍曼认为：外在的事物并不表现严格的单位，基数
似乎取决于我们的理解。 _85
23 密尔的这种看法，即认为数是事物聚集的性质，是站不住脚的。 _89
24 数的广泛的可应用性。密尔。洛克。莱布尼茨的非物质的形而上学
的图形。如果数是某种可感觉的东西，那么，它就不能被归为无感
觉的东西。 _91
25 密尔的关于 2 和 3 之间的物理的区别。根据贝克莱，数事实上不
是在事物之中，而是通过精神创造的东西。 _95
数是某种主观的东西吗？
26 利普希茨关于数的构造的描述是不合适的，并且不能代替一种关于数
的概念的规定。数并不是某种心理的对象，而是某种客观的东西。 _97
27 数并不像施罗米尔希所主张的那样，是在一个序列中对象位置的
表象。 _103
作为集合的基数。
28 托迈的命名。 _107
III关于单位和一的观点。
数词一表达对象的一种性质吗？
29 ο 与单位这两个表述的多义性。 E. 施罗德将单位解释成
计数的对象似乎是无效的。形容词一并不包含更进一步的规定
性，不能起到谓词作用。 _109
30 根据莱布尼茨和鲍曼所尝试的定义，单位这个概念似乎完全消失了。
_113
31 鲍曼关于未分性与分界性的标志。单位这个观念并不是由每个对象
提供给我们的（洛克）。 _113
32 不过，语言仍然说明了未分性与分界性的关联，然而在这里涵义发
生了变化。 _115
33 将不可分性（ G. 科珀）作为单位的标准是不能成立的。 _117
单位是彼此相同吗？
34 相同作为命名单位的理由。 E. 施罗德。霍布斯。休谟。托迈。
通过抽象掉事物的不同，人们不能获得基数的概念。由此，事物彼
此之间也不相同。 _119
35 如果我们谈论多，差异性也是必要的。笛卡尔， E. 施罗德，耶
芳斯。 _123
36 关于单位是差异的观点也遇到了困难。耶芳斯的不同的一。 _125
37 洛克、莱布尼茨、黑塞从单位或一定义数。 _127
38 一是专名，单位是概念词。数不能定义为单位。和
与 的区别。 _129
39 化解单位的可区别性与相等性的这个困难由于单位的多义性而
被掩盖。 _133
克服这个困难的努力。
40 时间和空间作为区别的手段。霍布斯、托迈。与之相对：莱布尼茨、
鲍曼、耶芳斯。 _137
41 这个目的实现不了。 _139
42 序列中的位置作为区别的手段。汉克尔的确定。 _141
43 施罗德通过记号 1 来摹绘对象。 _143
44 耶芳斯通过抽象掉差异的特征而保留其实存。 0 和 1 是像其他的数
一样的数。困难依然存在。 _145
困难的解决。
45 回顾。 _151
46 数的陈述包含了一个关于概念的断言。反对认为数改变而概念
不变。 _153
47 数的陈述是由概念的客观性而得以解释的事实的陈述。 _155
48 解决几个困难。 _157
49 斯宾诺莎的确证。 _159
50 E. 施罗德的阐释。 _161
51 对同样问题的修正。 _161
52 在一种德语的惯用法中的确证。 _163
53 一个概念的特征和性质之间的区别。存在与数。 _165
54 人们称数的陈述的主词为单位。单位的不可分性与分界性。相等与
可区分性。 _167
IV
基数这个概念
每个单个的数都是独立的对象。
55 尝试补充莱布尼茨关于单个数的定义。 _171
56 这些尝试的定义是不可用的，因为它们说明了一个陈述，而数只是
这个陈述的一部分。 _173
57 数的陈述被看作数之间的一种相等。 _175
58 反对意见认为，数作为一种独立的对象是不可想象的。数根本就不
可想象。 _177
59 一个对象并不能因为不可想象而被排除在研究之外。 _179
60 具体事物自身并不总是可想象的。如果人们追问语词的意谓的话，
那么就必须在命题中考察语词。 _181
61 反对观点认为数是非空间的。并非每种客观的对象都是空间的。
_183
为了获得基数的概念，人们必须确定数相等的意义。
62 我们需要一个表示数相等的标准。 _185
63 一一对应作为标准的可能性。对定义相等的逻辑质疑，特别是在数
这种特定事例中。 _187
64 一个类似过程的例子：方向，平面上的位置，一个三角形的图形。
_189
65 尝试一个定义。质疑二：相等的法则是否充分？ _191
66 质疑三：相等的标准是不充分的。 _195
67 我们不能补充说，人们像引入对象那样获得概念的特征。 _197
68 基数作为概念的外延。 _199
69 说明。 _201
我们的定义的完善与证明其价值。
70 关系概念。 _203
71 通过一种关系的对应。 _209
72 一一对应的关系。基数的概念。 _211
73 属于概念 F 的基数等同于属于概念 G 的基数，当且仅当归属于概
念 F 的对象与归属于概念 G 的对象之间存在一种一一对应的关系。
_215
74 零是归属于与自身不相等的概念的基数。 _217
75 零是归属于没有任何东西落入其下的概念的基数。如果零是这样概
念的基数，没有任何对象落入这样概念之下。 _221
76 说明n 在自然数序列中紧跟 m这样表达式。 _223
77 1 是与零相等的概念的基数。 _225
78 借助于我们的定义证明命题。 _229
79 序列中跟随的定义。 _231
80 评注。跟随的客观性。 _233
81 说明表达式x 属于以 y 结尾的 序列。 _235
82 关于自然数不存在最后一项证明的提示。 _237
83 有穷基数的定义。在自然数序列中任何一个有穷基数都不跟随其
自身。 _239
无穷基数。
84 属于有穷基数概念的基数是一个无穷基数。 _241
85 康托尔的无穷基数；势。命名的不同。 _243
86 康托尔的顺序中的后继与我的序列中的跟随。 _245
V结论。
87 算术法则的性质。 _247
88 康德对分析判断的低估。 _249
89 康德的命题：离开感性，对象不能被给予。康德对于数学的
贡献。 _251
90 对算术法则分析性质的完整的证明缺乏一种无漏洞的推理链条。
_253
91 通过我的概念文字可弥补这一缺陷。 _255
其他的数。
92 根据汉克尔的看法，追问数的可能性的意义。 _257
93 数既不是空间外在的东西，又不是主观的东西。 _259
94 一个概念的无矛盾性并不能保证有任何东西落入这个概念之下，
并且概念自身需要证明。 _261
95 我们并不能立即将c - b看成解决减法问题的记号。 _263
96 数学家也不能任意地创造一些东西。 _265
97 要区分概念和对象。 _267
98 汉克尔对于加法的说明。 _267
99 形式理论的缺陷。 _269
100 以一种特定的方式扩展乘法的意谓来说明复数的努力。 _271
101 这样一种证明的可能性对于一个证明的效力来说并不是不重
要的。 _273
102 一个运算应该是可行的这样纯粹的要求并不是要求的满足。 _273
103 科萨克关于复数的说明仅是定义的引导，并没有避免引入陌生的
数类。几何的表征。 _275
104 对于新数来说，关键是要确定重认新数判断的涵义。 _277
105 算术的魅力在于其理性的特征。 _281
106109 回顾。 _281
德中译名对照表 _291
译后记 _293