本书基于作者多年教学、辅导和出版经验，历时五年的准备时间，针对新考研大纲下的高中数学学科各主要专题，在深入研究的基础上，进行了尽可能深入而充分地梳理和讲解，力求体现知识脉络的演变以及思维高度的创新。本次出版的内容原创性强，不拘泥于结论和形式，循循善诱，绝大部分例题在考研入门阶段即可读懂，后期还会有习题集配套出版，乃是广大考生课堂学习的有益补充，也是大家提早备考的一剂沁心良药。
本书的读者对象是备战考研的大学生。

本书基于作者多年教学研究经验和考前辅导经验，经过十年的准备，针对考研数学学科各主要专题进行了深入的梳理和讲解，力求体现知识脉络的演变以及思维高度的创新.
本书内容原创性强，不拘泥于结论和形式，循循善诱，部分例题在大学入门阶段即可读懂. 书中例题都是历年考研真题，还配有作者改编的变式题，是广大考生课堂学习的有益补充，也是大家提早备考的有效复习资料.

一、写书缘由
十年前, 我在国内一家知名教育机构教授考研数学与高考数学, 对学术的渴求促使我放弃教学, 赴美攻读计算数学博士学位. 出国前, 我深知或许无缘再登讲台, 遂决定将教学经验编写成书, 作为对过往的纪念. 于是, 一群志存高远的年轻人合作编写了高考数学你真的掌握了吗?系列书.
该系列丛书因其科学系统的知识体系、递进式的逻辑思路和创新的思考方法, 受到读者的广泛好评. 我始终怀有编写同样风格的考研数学辅导书的心愿. 如今, 这一愿望终于得以实现, 新系列丛书命名为考研数学你真的掌握了吗?, 以延续前作的精神.
二、本书特色
1. 知识点的呈现方式. 本书有别于其他辅导书的轰炸式知识点罗列, 采用渐进式呈现, 按照内在的逻辑逐步展开, 我们注重每个知识点的引入, 通过解释性的文字或适当的例题引导读者, 致力于使每个知识点的呈现更加自然和流畅, 在介绍每个知识点后, 我们安排了与之密切相关的基础例题, 以加深对该知识点的理解. 此外, 我们非常注重知识点之间的逻辑衔接, 努力让读者有一个整体框架.
2. 例题的呈现方式. 在介绍完知识点后, 我们设计了一系列相关的例题, 这些例题不仅有助于巩固知识点, 还能梳理考研数学中常见的题型, 帮助读者把握考试方向. 我们严格按照由简到难的顺序呈现例题, 逐步深入, 例题之间的逻辑衔接语言将会有助于读者全面理解题型的演变逻辑, 针对一些重点题型, 我们不仅提供详细的解答, 还会总结相关方法和结论, 并以醒目的方式突显它们的重要性.
3. 变式题的引入. 无数经验和教训告诉我们, 只有例题的辅导书知识转化率很低. 这是因为很多读者习惯于阅读书中的例题而非真正做练习, 从而产生一种错觉, 认为自己掌握了相应的题型和解题方法, 但实际上相去甚远, 因为看会不等于学会. 为此, 我们设计了一种方法:在每种类型的例题后安排了适量的变式题, 这些变式题与例题非常相似, 初步培养读者具备最基本的依葫芦画瓢的能力. 一旦初步掌握了这种能力, 就能够尝试解决练习册中的题目, 如果连变式题都难以解答, 那就意味着对例题的解题方法尚未掌握.
4. 框架图的引入. 考研数学极其重视基本概念的考査, 这些概念通常涉及多个命题的蕴含关系或等价关系. 我们通过设计一些框架图来直观展现这些概念, 根据我们的经验, 这种展示方式不仅直观易懂, 而且有助于记忆.
此外, 针对重要的考点和题型, 我们也采用类似的框架图进行突出标注, 这样一来, 在二刷, 甚至三刷、四刷的时候, 读者能够迅速回顾重要的知识点和题型, 达到快速复习的目的.
5. 选题的原则. 一本出色的复习参考书自然由一系列优质题目构成. 本书中的优质题目就是自1987年以来频繁考查的考研数学真题, 我们将引导读者了解常见或几乎必考的题型, 并提醒读者有些题目需要反复练习, 甚至需要牢记, 同时指导读者如何进行有效的记忆.
在本书的编写过程中, 大连理工大学的孔浩哲, 四川大学的左都进、张哲源、刘凌波和蔡凌晨, 西北工业大学的姚雄峰, 苏州大学的赵鸣宇, 复旦大学的刘俊, 以及厦门大学的陈晓晓, 参与了审稿工作. 在此, 向他们致以诚挚的感谢!
如果您对本书表示认可, 并希望参与到书籍的优化工作中, 请加入本书读者QQ群:203778901, 与编者直接沟通. 由于编者水平有限, 本书难免存在错误或不妥之处. 如果读者在使用过程中发现任何错误, 我们真诚地欢迎您批评指正.

张杨文
2024年6月

张杨文，数学与应用数学博士学位，主要研究方向为偏微分方程的控制理论及其算法。 在计算数学顶尖期刊《SIAM Journal on Numerical Analysis》上发表论文7篇，其中作者还独立解决了数值线性代数领域中一个非常重要的公开问题，作者与卡内基梅隆的Walkington教授和加州伯克利的Weber教授合作, 提出了关于偏微分计算的全新算法，在保持同样精度的前提下，其计算效率是传统算法的几百倍甚至上千倍。在教学方面，作者曾经在成都新东方从事考研培训2年，并且一直从事高等数学、线性代数，概率统计、数值线性代数、数值分析和偏微分方程等课程的教授工作。

第 1 章 随机事件与概率 1
1.1 随机事件及其运算 1
1.1.1 随机事件的基本概念 1
1.1.2 事件之间的关系与运算 1
1.2 概率的定义及其性质 2
1.2.1 概率的减法公式 4
1.2.2 概率的加法公式 5
1.3 条件概率 7
1.3.1 条件概率的定义 8
1.3.2 乘法公式 11
1.4 全概率公式与贝叶斯公式 12
1.4.1 全概率公式 12
1.4.2 贝叶斯公式 14
1.5 独立性 15
1.5.1 两个事件之间的独立性 15
1.5.2 多个事件的相互独立性 17
第 2 章 一维随机变量及其分布 21
2.1 分布函数 21
2.1.1 随机变量的概念 21
2.1.2 分布函数 22
2.1.3 离散型随机变量的分布律 23
2.1.4 连续型随机变量的概率密度函数 24
2.2 期望与方差 28
2.2.1 期望 28
2.2.2 方差 31
2.3 常用分布 33
2.3.1 常见的离散型随机变量的分布 34
2.3.2 常见的连续型随机变量的分布 43
2.4 随机变量函数的分布 53
2.4.1 离散型随机变量函数的分布 53
2.4.2 连续型随机变量函数的分布 54
第 3 章 多维随机变量及其分布 60
3.1 多维随机变量及其联合分布 60
3.1.1 联合分布函数 60
3.1.2 联合分布律 61
3.1.3 联合密度函数 63
3.1.4 常见多维分布 65
3.2 边缘分布与随机变量的独立性 69
3.2.1 边缘分布函数 69
3.2.2 边缘分布律 70
3.2.3 边缘密度函数 72
3.2.4 条件分布. 76
3.2.5 随机变量之间的独立性 81
3.3 多维随机变量函数的分布 86
3.3.1 离散型随机变量函数的分布 87
3.3.2 连续型随机变量函数的分布 88
3.3.3 离散型随机变量与连续型随机变量函数的分布 92
3.3.4 最大值与最小值的分布 95
3.4 多维随机变量的期望与方差 100
3.4.1 期望与方差 100
3.4.2 最大值与最小值的期望与方差 104
3.4.3 条件数学期望 107
3.5 多维随机变量之间的相关性 112
3.5.1 协方差 112
3.5.2 相关系数 115
3.5.3 不相关及其等价条件 120
3.5.4 不相关与独立 121
3.6 多维正态分布 124
3.6.1 多维正态分布的边缘分布 124
3.6.2 多维正态分布的条件分布 125
3.6.3 正态分布的可加性 128
3.6.4 独立性与不相关的等价 130
第 4 章 中心极限定理与大数定律 134
4.1 中心极限定理 134
4.2 大数定律 137
4.3 切比雪夫不等式 138
第 5 章 数理统计初步 141
5.1 基本概念 141
5.1.1 总体与样本 141
5.1.2 统计量及其分布 141
5.1.3 经验分布函数 (仅数三作要求) 145
5.2 三大分布 146
5.2.1 分布 146
5.2.2 t 分布 148
5.2.3 F 分布 152
5.3 参数的点估计 153
5.3.1 矩估计法 154
5.3.2 最大似然估计 155
5.3.3 点估计量的无偏性 (仅限数学一) 160
5.4 区间估计 (仅限数学一) 166
5.4.1 方差 已知时均值 的置信区间 167
5.4.2 方差 未知时均值 的置信区间 169
5.5 假设检验 (仅限数学一) 170
5.5.1 方差 已知时均值 的检验 171
5.5.2 方差 未知时均值 的检验 173
参考答案 175