本书是作者三十多年泛函分析教学经验和心得成果。主要内容包括度量空间、赋范线性空间和有界线性算子、希尔伯特空间几何学、巴拿赫空间基本定理、算子理论和算子代数初步等。全书力求结构合理，内容由浅入深，逻辑层层递进，例题丰富多样，而且每章最后配备大量习题以供读者练习之用。

张伦传 中国人民大学数学学院教授，博士生导师，本科教学督导专家团成员。兼任美国《数学评论》（Math.Reviews）特约评论员。主要讲授课程：向量拓扑空间、凸分析、泛函分析、数学分析等，已出版教材（含教参）八部，包括《大学文科数学》（普通高等教育“十一五”国家级规划教材）等。主要研究方向：量子概率与量子随机过程。在国内外核心期刊发表论文四十余篇。出版专著两部，其中《Hilbert C*-Modules and Quantum Markov Semigroups》于2024年由施普林格出版，开辟了量子概率研究的一个新方向。

第1章 度量空间
1.1 度量空间及相关概念
1.1.1 度量空间的定义
1.1.2 开集、闭集、收敛性
1.1.3 连续映射
1.2 稠密集和可分度量空间
1.2.1 稠密集
1.2.2 可分度量空间
1.3 柯西列和完备度量空间
1.3.1 柯西列
1.3.2 完备度量空间
1.4 紧集和紧空间
1.4.1 列紧集、紧集和紧空间
1.4.2 列紧集、紧集的等价刻画
1.5 不动点定理及应用
1.5.1 压缩映射原理
1.5.2 应用举例
习题一

第2章 赋范线性空间和有界线性算子
2.1 线性空间及相关概念
2.1.1 线性空间
2.1.2 线性无关集和线性基
2.2 赋范线性空间
2.2.1 赋范线性空间的定义
2.2.2 等价范数和有限维赋范空间
2.3 巴拿赫空间
2.3.1 巴拿赫空间的基本概念
2.3.2 L^p (1≤p≤0) 空间
2.4 有界线性算子
2.4.1 有界线性算子的定义
2.4.2 正则集和谱集
2.4.3 连续线性泛函和对偶空间
习题二

第3章 希尔伯特空间几何学
3.1 希尔伯特空间的基本概念
3.1.1 内积空间和希尔伯特空间
3.1.2 投影定理和正交分解
3.1.3 希尔伯特空间的标准正交基
3.1.4 可分希尔伯特空间之间的等距同构
3.2 里斯表示定理
3.2.1 里斯表示定理的刻画
3.2.2 弱收敛与弱紧性
3.3 几类有界线性算子
3.3.1 共轭算子和自伴算子
3.3.2 正常算子和酉算子
3.3.3 投影算子
3.3.4 紧算子
3.4 L^2空间理论的应用
3.4.1 条件数学期望
3.4.2 傅里叶级数和傅里叶变换
习题三

第4章 巴拿赫空间基本定理
4.1 哈恩-巴拿赫延拓定理
4.1.1 哈恩-巴拿赫延拓定理的刻画
4.1.2 赋范空间上的共轭算子
4.2 开映射定理和逆算子定理
4.2.1 贝尔纲定理
4.2.2 开映射定理和逆算子定理的刻画
4.3 一致有界定理和闭图像定理
4.3.1 一致有界定理
4.3.2 闭图像定理
4.4 几种常用的收敛性
4.4.1 强收敛、弱收敛和弱*收敛
4.4.2 弱列紧性和弱*列紧性
4.4.3 有界算子列的强、弱和一致收敛
习题四

第5章 算子理论和算子代数初步
5.1 谱测度和谱系
5.1.1 投影算子的比较
5.1.2 谱测度和谱系的刻画
5.2 预解恒等式和谱半径
5.2.1 预解恒等式
5.2.2 谱半径
5.3 紧算子的谱分解
5.3.1 酉算子和自伴算子的谱分解
5.3.2 紧算子的谱分解的刻画
5.4 C*-代数基础
5.4.1 基本概念
5.4.2 交换C*-代数的盖尔范德表示定理
5.4.3 C*-代数的正锥与序结构
5.4.4正线性泛函和GNS构造
习题五