纯数学教程_【英】戈弗雷·哈罗德·哈代_9787229186296

《纯数学教程》详细梳理了经典数学相关概念，其知识框架清晰而有条理，囊括了数论、代数、几何和拓扑学等多个领域。全书共分十章，每一章内容循序渐进、层层深入，从基础的核心概念讲起，提供严谨的证明过程，以及丰富的例子和习题。

第一章至第三章介绍了实数、复数等概念，其中，第二章着重通过图片展示的方式，直观地分析与讲解抽象的函数。第四章和第五章引入了极限、连续、振荡等概念。第六章至第八章详细介绍了微积分的概念和相关定理证明，如中值定理、达布定理等，此外，还论述了收敛的判别法。第九章和第十章，从多重角度出发，给出了指数函数、对数函数和三角函数的定义及其应用。

译者序

从1908年初版至今，《纯数学教程》一共经历了11 次重印或再版，不断被译成不同的语言文字，其在数学界的受欢迎程度不言而喻。在无数次不同语言之间的翻译过程中，看似是译者对本书言语的打磨，实则是数学思想与逻辑思维的碰撞；不断修订的过程，也是使本书不断吸收和纳入新时代的数学思想与分析方法的过程。这本数学著作之所以经典，除了本身的学术价值，作者哈代（Hardy）的人格魅力也为其增光添彩。

哈代先生既是著名的数学家，又是优秀的教育家。他在英国牛津大学、剑桥大学任教期间的数学成果斐然，在数论、不等式、级数、极限以及微积分计算等领域中做出了巨大的贡献，同时还挖掘了拉马努金、华罗庚先生等优秀的数学家。《纯数学教程》的再译、再版、再印并不仅是出千对哈代先生的尊重与崇敬，更是因为这是一本畅销书，具有普及思想的价值。能够由我承担本书的翻译工作，为广大读者传播哈代先生的数学知识与逻辑思维，与读者一同领略字里行间闪烁的汗漫灵光，何其荣幸！

数学，这门学科从远古的计数开始，不仅是工具，更是思想。译者在中国和美国都曾学习过高等数学，学习内容差不多，但老师的教学方法却略有不同。《纯数学教程》与国内高等院校数学教科书的区别在于一它更为详尽地描述了公式、定理的推导过程，对于边界或限制条件的来源、假设方式都进行了详细的考证。非常有意思的是，这本教科书中的很多问题并没有给出最终答案，而是留给读者自行思考，似乎读者得出的答案才是正确答案。这其实反映了东西方教育的不同理念一结果导向论vs思维导向论。

译者在美国参加博士生入学考试时，我们所有考生都有着相似的心得体会：看着出题风格尤其是使用的动词，就能大致猜出它出自哪国老师的手笔一如果题目给定限制条件，通过代入公式得到最终结果的，十有八九是亚洲老师的杰作（题目中最常见的动词为obtain）。这是因为在东方（如中、日、韩等国）的数学教育中，侧重千解决问题（problem-solving），也非常崇尚打破砂锅豐到底的追踪精神。而与之相对，欧美数学系教授的出题方式往往偏向论述，无限制条件（题目中最常见的动词为describe）。这样一来，试题往往对千最后数值答案的分值设定不高。东方崇尚的结果导向论与西方追求的思维导向论，这两种不同的教育方式，塑造出来的学生思维风格也不尽相同。在此我想要强调的是，这两种教育方式并无高下之分，也无对错之别，只是对学生的大脑皮层刺激点以及思维路径的不同。我们既不可妄自菲薄，也不可骄傲自大。回头看来，《纯数学教程》这本书既是对数学思维的推广，又是对数学能力的培养，既具有思维导向性，也具有结果导向性，读之将受益无穷。

《纯数学教程》作为英国第一本数学分析书，对千数学分析的逻辑思路进行了统一，直接奠定了数学分析课程的基础。本书将直观与抽象结合起来进行数学分析，全面梳理了经典数学的相关概念，系统阐述了微积分的产生与应用，还襄括了剑桥大学数学课程的习题集以及解题技巧，适合学习数学以及数学爱好者阅读，下面简要介绍一下本书的内容结构：

全书一共分为十章，内容层层递进，逻辑清晰。第一章与第三章进行了数论扩充的讨论，从有理数到实数，再到复数，介绍了其分类关系、大小比较及相关定理，尤其是第一章中戴德金分割定理的分析尤为精彩。第二章介绍了函数的概念，着重以图像展示的方法来分析函数，读者也应吸收理解图像分析这一思想。第四章和第五章开始引入极限、级数、连续、振荡等相对晦涩难懂的概念，并且对于边界条件进行了分类讨论。从第六章到第八章开始详细介绍了微积分的概念、相关定理证明、特殊函数的积分讨论以及收敛的判别法。值得注意的是，此三章通过细致入微的讨论，为19世纪以来的欧洲数学界微积分辩论找到了答案，推荐读者多次阅读并熟练使用微积分工具。第九章与第十章针对常见且重要的对数函数、指数函数以及三角函数进行了多重角度分析。

本书的翻译是译者在不断翻阅相关数学资料的基础上反复推敲的过程，对于很多数学概念的分析、定理的推导过程及限制条件都进行了仔细的琢磨，译者也自行对部分习题进行了验算。在此，我向曾经请教过的同事表示衷心的感谢，也向在翻译过程中给予帮助和指导的编辑们表示感谢。作为一部20世纪的著作，原文的一些表达都已过时，因此译者尽量使用了最新的数学概念与表达方式进行翻译，便千读者理解。但由千水平有限，最终译文难免会有欠妥之处，恳请各位读者批评指正。

译者序/1
前言/5

第一章实变量/1
（1）有理数1
（2）通过线上的点来代表有理数2
（3）无理数3
（4）无理数（续）6
（5）无理数（再续）7
（6）无理数（三续）9
（7）无理数（四续）10
（8）实数11
（9）实数之间的大小比较12
（10）实数的代数运算14
（11）实数的代数运算（续）15
（12）的研究16
（13）二次方根17
（14）关于二次方根的一些定理18
（15）连续统21
（16）连续实变量23
（17）实数的分割23
（18）极限点25
（19）魏尔施特拉斯定理26
例题集27

第二章实变量函数/37
（20）函数的定义37
（21）函数的图形表示法40
（22）极坐标41
（23）更多的函数以及图形表示的例子42
（24）B.有理函数44
（25）有理函数（续）46
（26）C.显式代数函数47
（27）D.隐式代数函数48
（28）超越函数50
（29）F.其他种类的超越函数53
（30）包含着单一未知数的方程图像解法56
（31）二元函数以及它们的图像表示法57
（32）平面曲线58
（33）空间中的轨迹60
例题集63

第三章复数/69
（34）直线与平面上的位移69
（35）位移的相同性、位移的数乘法70
（36）位移的加法71
（37）位移的乘法74
（38）位移的乘法（续）75
（39）复数76
（40）复数（续）78
（41）方程i²=-179
（42）与i相乘的几何解释79
（43）方程z² 1=0，az² 2bz c=080
（44）阿尔干（Argand）图82
（45）棣莫弗定理83
（46）几个关于复数的有理函数定理85
（47）复数的根97
（48）方程zⁿ=a的解98
（49）棣莫弗定理的一般形式101
例题集101

第四章正整数变量对应函数的极限/109
（50）正整数变量的函数109
（51）函数插值110
（52）有限集和无限集111
（53）对于大数值n的函数性质112
（54）对于大数值n的函数性质（续）113
（55）n趋向于无穷的表述114
（56）当n趋向于无穷时n的函数表现115
（57）当n趋向于无穷时n的函数表现（续）117
（58）极限的定义117
（59）极限的定义（续）119
（60）极限的定义（再续）119
（61）关于定义的几个基础要点120
（62）振荡函数123
（63）关于极限的一些定理127
（64）定理1的附属结果128
（65）B.两个增减趋势已知的函数乘积的增减趋势129
（66）C.两个增减趋势已知的函数的差或商的增减趋势131
（67）定理5132
（68）定理5（续）133
（69）以n为变量且与n一起递增的函数134
（70）对定理的说明137
（71）魏尔施特拉斯定理的另一种证明137
（72）当n趋向于时xn随着n变化的极限138
（73）的极限142
（74）一些代数引理143
（75）的极限145
（76）无穷级数146
（77）关于无穷级数的一般定理147
（78）无穷几何级数149
（79）用极限方法来表示连续实变量154
（80）有界集合的边界157
（81）一个有边界函数的边界158
（82）一个有边界函数的不确定的极限158
（83）有边界函数的一般收敛性原则161
（84）无边界函数162
（85）复数函数的极限及复数项的级数163
（86）定理的延伸164
（87）当n时，zⁿ的极限（z是复数）166
（88）当z是复数时的几何级数1 z z² …166
（89）符号O，o，~168
例题集169

第五章一个连续变量的函数极限、连续函数与不连续函数/179
（90）当x趋向于时的极限179
（91）当x趋向于-时的极限181
（92）第四章第6369课时的结论对应的定理182
（93）当x趋向于0时的极限182
（94）当x趋向于a时的极限184
（95）递增或递减函数185
（96）不定元的极限以及收敛原则185
（97）不定元的极限以及收敛原则（续）187
（98）符号O，o，~：大、小的级别对比192
（99）一个实变量的连续函数193
（100）一个实变量的连续函数（续）195
（101）连续函数的基本性质199
（102）连续函数的其余性质201
（103）连续函数的取值范围202
（104）函数在区间内的振荡204
（105）第103课时定理2的另一种证明205
（106）直线上的区间集，海恩-博莱尔（Heine-Borel）定理206
（107）连续函数的振幅209
（108）多元的连续函数211
（109）隐函数212
（110）反函数214
例题集216

第六章导数与积分/221
（111）导数或微分系数221
（112）一些一般性的注解223
（113）一些一般性的注解（续）226
（114）微分法的一些一般法则227
（115）复函数的导数230
（116）微分学的记号230
（117）标准形式232
（118）B.有理函数235
（119）C.代数函数236
（120）D.超越函数238
（121）高阶导数241
（122）关于导函数的一些一般性定理245
（123）最大值与最小值247
（124）最大值与最小值（续）249
（125）最大值与最小值（再续）249
（126）中值定理257
（127）中值定理（续）259
（128）柯西中值定理259
（129）达（Darboux）定理260
（130）积分261
（131）实际的积分问题262
（132）多项式264
（133）有理函数265
（134）有理函数的实际积分268
（135）代数函数269
（136）换元积分法和有理化积分法269
（137）由圆锥曲线相连的积分270
（138）积分271
（139）积分272
（140）积分273
（141）分部积分法273
（142）一般的积分，其中y²=ax² 2bx c276
（143）超越函数280
（144）以x的倍数的正弦与余弦为变量的多项式280
（145）积分，及相关的积分281
（146）cosx和sinx的有理函数281
（147）包含arcsinx，arctanx和logx的积分283
（148）平面曲线的面积284
（149）平面曲线的长度285
例题集290

第七章微分和积分的其他定理/303
（150）更高阶的中值定理303
（151）泰勒定理的另一种形式308
（152）泰勒级数310
（153）泰勒定理的应用A.求最值312
（154）B.某些极限的计算312
（155）C.平面曲线的相切315
（156）多变量函数的导数320
（157）双变量函数微分法322
（158）双变量函数微分法（续）325
（159）双变量函数的中值定理326
（160）微分328
（161）定积分和面积计算332
（162）定积分335
（163）圆的扇形面积，三角函数336
（164）从定积分作为和的极限来计算定积分340
（165）定积分的一般性质341
（166）分部积分法和换元积分法345
（167）利用分部积分法证明泰勒定理348
（168）余项的柯西形式在二项式中的应用349
（169）定积分的近似公式，辛普森公式350
（170）实变量复数函数的积分352
例题集353

第八章无穷级数与无穷积分的收敛/365
（171）前言365
（172）正项级数365
（173）正项级数（续）366
（174）这些判别的第一批应用366
（175）比值判别法367
（176）德里赫特判别法371
（177）正项级数的乘法371
（178）对于收敛与发散的额外判别法373
（179）阿贝尔（或普林斯姆）定理374
（180）麦克劳林（或柯西）积分判别法376
（181）级数377
（182）柯西并项判别法379
（183）进一步的比值判别法380
（184）无穷积分381
（185）取值为正的情形383
（186）替换积分法和分部积分法对无限积分的应用386
（187）其他类型的无穷积分389
（188）其他类型的无穷积分（续）391
（189）其他类型的无穷积分（再续）395
（190）正负项的级数397
（191）绝对收敛级数398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到绝对收敛级数400
（193）条件性收敛级数400
（194）条件性收敛级数的收敛判别法401
（195）交错级数402
（196）阿贝尔收敛判别法和德里赫特收敛判别法405
（197）复数项的级数408
（198）幂级数409
（199）幂级数（续）410
（200）幂级数的收敛域、收敛圈410
（201）幂级数的唯一性413
（202）级数的乘法413
（203）绝对收敛无限积分和条件收敛无限积分415
例题集417

第九章实变量的对数、指数及三角函数/427

（204）引言427
（205）logx的定义428
（206）logx满足的函数等式429
（207）logx随着x趋向于无穷时的情况431
（208）当x时x^-logx0的证明431
（209）当x 0时logx的性状432
（210）无穷的尺度，对数的尺度432
（211）数字e435
（212）指数函数436
（213）指数函数的一般性质437
（214）一般幂函数a^x439
（215）e^x作为极限的表示法440
（216）logx作为极限的表示法441
（217）常用的对数442
（218）级数和积分收敛的对数判别法449
（219）与指数函数、对数函数有关的级数，用泰勒定理展开ex454
（220）对数级数457
（221）反正切函数级数459
（222）二项级数462
（223）建立指数函数与对数函数理论的另一种方法464
（224）三角函数的分析理论466
（225）三角函数的解析理论（续）469
（226）三角函数的解析理论（再续）471
例题集472

第十章对数函数、指数函数和三角函数的一般理论/483
（227）单复变量的函数483
（228）单复变量的函数（续）484
（229）实数和复数曲线积分484
（230）的定义485
（231）Log的值486
（232）指数函数491
（233）exp的值492
（234）exp满足的函数方程492
（235）一般的幂a493
（236）a的一般值494
（237）正弦和余弦的指数值498
（238）对于所有的，sin和cos的定义498
（239）推广的双曲线函数499
（240）与，等有关的公式500
（241）对数函数与反三角函数之间的联系503
（242）expz的幂级数505
（243）cosz和sinz的幂级数507
（244）对数级数509
（245）对数级数（续）510
（246）对数级数的一些应用，指数极限513
（247）二项式定理的一般形式514
例题集517

附录1Hlder不等式和Minkowski不等式/527
附录2每一个方程都有一个根的证明/533
附录3双极限问题的注记/540
附录4分析和几何中的无穷/543

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