近年来，工业化和城市化的加速发展致使资源消耗多、污染物排放量大，环境污染问题愈发严重，对人类的健康以及各种生物种群的生长都产生了非常大的影响。因此，研究环境污染对种群乃至生态系统的影响十分重要。本书主要建立污染环境中具有年龄结构的非线性种群系统、污染环境中具有年龄结构的带扩散的种群系统、污染环境中具有年龄结构的竞争种群系统，首先利用特征线法及不动点定理确定系统的解，证明系统解的存在唯一性，然后结合最大化序列、Mazur 定理以及相对紧性证明最优控制的存在性，最后通过切锥和法锥性质得到最优控制的必要条件。 本书可以作为生物数学、运筹学与控制论、种群动力学等专业硕士生和博士生的参考书，也可供从事生物数学及最优控制等方面研究的理工科教师及科研人员参考。

王战平，博士、教授、硕士生导师，主要研究方向为控制理论及其应用。2016年7月至2017年7月在美国耶鲁大学做访问学者，教育部“创新团队”成员。参与多项国家自然科学基金项目，主持并完成3项宁夏重点研发计划项目、3项宁夏自然科学基金项目、2项宁夏高等学校科研项目以及2项宁夏大学科学研究项目，主持完成1项宁夏高校青年教师教改项目，目前主持在研1项宁夏重点研发计划项目、1项宁夏自然科学基金项目和1项宁夏高等学科科学研究项目（服务地方经济），共发表学术论文30余篇，其中SCI和EI检索20余篇。

第1 章绪论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 研究背景及意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 国内外研究现状. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 研究内容. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第2 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1 基本定义及引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 重要不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 相关符号说明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
第3 章污染环境中具有年龄结构的非线性种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . 16
3.1 污染环境中具有加权的非线性种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3.1.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 污染环境中具有时滞的个体尺度种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 基本模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3.2.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 污染环境中具有尺度结构的周期种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 基本模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 污染环境中具有尺度结构的非线性害鼠模型的最优不育控制. . . . . . . 61
3.4.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
3.4.2 状态系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.4.3 最优不育策略的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.4 数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.4.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
第4 章污染环境中具有年龄结构的带扩散的种群系统的最优控制. . . . . . . . . 76
4.1 具有年龄结构的非线性种群扩散系统的最优收获控制. . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 系统广义解的存在唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 最优收获控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 必要条件与最优性组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 具有加权总规模的非线性种群扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2 最优性条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 污染环境中具有年龄结构的非线性种群扩散系统的最优控制. . . . . .101
4.3.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 污染环境中具有个体尺度的非线性随机种群
扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 系统解的唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.3 强解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.4 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.5 最优控制的必要条件与最优性组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.6 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 污染环境中具有个体尺度、带Possion 跳的非线性随机
种群扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
4.5.1 建立系统. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
4.5.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.3 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
第5 章污染环境中具有年龄结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . 146
5.1 污染环境中具有年龄结构的非线性竞争种群系统的最优控制. . . . . .146
5.1.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 污染环境中具有年龄等级结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . 163
5.2.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
5.2.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.3 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.4 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3 污染环境中与尺度结构相关的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . . . 177
5.3.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
5.3.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.4 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4 污染环境中具有扩散和尺度结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . .191
5.4.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
5.4.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4.3 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.4.4 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
第6 章总结与展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.1 主要工作总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2 不足与展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205