本书系统介绍了群、环、域的基本概念与初步性质，以及近世代数方法在编码、密码中的一些应用。全书共分四章，第一章讲述群的基本概念与性质，除了通常的群、子群、正规子群及群同态的基本定理外，还介绍了群的应用。第二章讲述环、子环、理想与商环的基本概念与性质，还介绍了环的一些应用。第三章讲述整环中的因子分子分解。第四章讨论了域的扩张的理论。

肖水晶，男，汉族，1975年9月生，中共党员，博士研究生学历，副教授、硕导，现为南昌大学理学院数学系教师。先后主持和参与5项国家自然科学基金项目及多项各类省部级项目，以第一作者共发表SCI收录学术论文31篇，获江西省自然科学三等奖1项并入选江西省百千万人才工程和江西省青年科学家。

目　　录

第1章 基本概念 1
§1.1 集合 1
习题1.1 2
§1.2 映射与变换 2
习题1.2 5
§1.3 代数运算 6
习题1.3 7
§1.4 运算律 7
习题1.4 11
§1.5 同态与同构 11
习题1.5 15
§1.6 等价关系与集合的分类 15
习题1.6 18
第2章 群 19
§2.1 群的概念 19
习题2.1 21
§2.2 群的性质 22
习题2.2 23
§2.3 有限群的另一个定义 23
习题2.3 24
§2.4 群的同态 24
习题2.4 26
§2.5 变换群 26
习题2.5 28
§2.6 置换群 29
习题2.6 31
§2.7 循环群 31
习题2.7 33
§2.8 子群 33
习题2.8 34
§2.9 子群的陪集 35
习题2.9 36
§2.10 正规子群、商群 37
习题2.10 38
§2.11 正规子群与同态 38
习题2.11 40
第3章 环与域 41
§3.1 环的概念 41
习题3.1 43
§3.2 交换律、单位元、零因子、整环 43
习题3.2 45
§3.3 除环、域 45
习题3.3 48
§3.4 无零因子环的特征 48
习题3.4 50
§3.5 环的同态与同构 50
习题3.5 52
§3.6 多项式环 52
习题3.6 57
§3.7 理想子环 57
习题3.7 59
§3.8 剩余类环、同态与理想 60
习题3.8 61
§3.9 极大理想 62
习题3.9 63
§3.10 商域 63
习题3.10 66
第4章 整环中的因子分解 67
§4.1 素元与唯一分解 67
习题4.1 70
§4.2 唯一分解环 71
习题4.2 73
§4.3 主理想环 74
习题4.3 76
§4.4 欧几里得环 76
习题4.4 78
§4.5 唯一分解环上的多项式环 78
习题4.5 83
第5章 域的扩张 84
§5.1 向量空间 84
习题5.1 87
§5.2 扩域、素域 87
习题5.2 89
§5.3 单扩域 89
习题5.3 93
§5.4 代数扩域 93
习题5.4 96
§5.5 多项式的分裂域 96
习题5.5 100
§5.6 有限域 100
习题5.6 102
§5.7* 可分扩域 102
习题5.7 105