《广东省专升本考试考前押密试卷·高等数学》共包含10套考前押密试卷, 每一套卷每一题均由中公教育广东专升本考试研究院经过精心打磨研发而成。8套试卷严格按照最新真题及考试要求全新研发, 题型、题量及试题难易程度均与历年真题保持一致。同时试卷严格按照真题的版式编排, 让考生提前体验考场考试的感觉, 以达到具备真正进入考场时能够迅速进入考试状态的能力。8套试卷在深入研究历年真题的基础上, 总结历年真题中的高频考点, 并根据重要知识点出题, 突出命题重点, 避免浪费考生宝贵的复习时间。
广东省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学
注意事项
1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。
2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。
3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。
高等数学考前押密试卷（一）第页（共12页）广东省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式不正确的是（）
A. limx→0e1x=∞B. limx→0-e1x=0
C. limx→0+e1x=+∞D. limx→∞e1x=1
2.函数f（x）=x（x-1）2sinx的间断点个数为（）
A. 0B. 1
C. 2D.无穷多个
3.若f（x）的一个原函数为ln（2x），则f′（x）=（）
A. -1x2B. ln（2x）
C. 2ln（2x）D. 1x
4.已知常数项级数∑∞n=1un的部分和Sn=n+1nn（n∈N*），则下列常数项级数中收敛的是（）
A. ∑∞n=1un+1nB. ∑∞n=1（un+Sn）
C. ∑∞n=1un+1enD. ∑∞n=1（un-1）
5.设D是由上半圆周y=2ax-x2和x轴所围成的闭区域，则Df（x，y）dσ=（）
A. ∫π20dθ∫2a0f（rcosθ，rsinθ）rdrB. ∫π20dθ∫2a0f（rcosθ，rsinθ）dr
C. ∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）rdrD. ∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）dr第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.设limx→∞x-1xx=∫a-∞exdx，则常数a=。
7.定积分∫1-1x3+11+x2dx=。
8.已知二元函数z=f（x，y）的全微分为dz=1ydx-xy2dy，则2zxy=。
9.方程xdy+2ydx=0满足yx=2=1的特解为。
10.已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切，则b2可以由a表示为b2=。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分，计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）11.求极限limx→0∫x0（et2-1）dttanx-x。
12.设y=xxe2x（x>0），求y′。
13.已知xlnx为f（x）的一个原函数，求不定积分∫xf′（x）dx。
14.设方程xz=lnzy确定隐函数z=z（x，y），求zx+zy。
15.求定积分∫2-2f（x-1）dx，其中f（x）=1x+1，x≥0，1ex，x<0。
16.求二重积分D（x+y）dxdy，其中D为由直线y=-x，y=1，x=0所围成的平面闭区域。
17.判断级数∑∞n=1n2+（-2）n3n的敛散性。
18.设函数y=y（x）是微分方程y″+y′-2y=0的解，且在x=0处y（x）取得极值3，求y（x）。
四、综合题（本大题共2小题，第19题10分，第20题12分，共22分，综合题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）19.欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价低。
20.设D1是由抛物线y=2x2和直线x=a，y=0所围成的平面区域，D2是由抛物线y=2x2和直线x=a，x=2及y=0所围成的平面区域，其中0（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2；
（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等。广东省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（一）参考答案及解析第Ⅰ卷一、单项选择题
1.【答案】A
【解析】D项，x→∞时1x→0，所以limx→∞e1x=1，D项正确；
B项，x→0-时1x→-∞，所以limx→0-e1x=0，B项正确；
C项，x→0+时1x→+∞，所以limx→0+e1x=+∞，C项正确；
同时，通过分析B、C两项可知limx→0e1x不存在且不是无穷大，所以A项不正确。故选A。
2.【答案】D
【解析】当x=kπ（k∈Z）时，sinx=0，所以x=kπ（k∈Z）均为f（x）的间断点。其中x=0时，
limx→0f（x）=limx→0x（x-1）2sinx=limx→0（x-1）2=1，
所以x=0是一个可去间断点；x=kπ（k∈Z且k≠0）时，limx→kπf（x）=∞，此时x=kπ（k∈Z且k≠0）为无穷间断点，且有无数个。故选D。
3.【答案】A
【解析】由题意可知
f（x）=［ln（2x）］′=1x，
因此f′（x）=-1x2。故选A。
4.【答案】C
【解析】根据已知，部分和数列的极限为
limn→∞Sn=limn→∞n+1nn=limn→∞1+1nn=e，
由级数收敛的定义可知∑∞n=1un收敛。
A项可分解为∑∞n=1un+∑∞n=11n，而∑∞n=11n为调和级数，发散，由“收敛+发散=发散”可知A项发散；
B项可分解为∑∞n=1un+∑∞n=1Sn，而∑∞n=1Sn的一般项极限limn→∞Sn=e≠0，由极限收敛的必要条件可知极限∑∞n=1Sn发散，由“收敛+发散=发散”可知B项发散；
C项可分解为∑∞n=1un+∑∞n=11en，对于∑∞n=11en，由比值判别法可知
limn→∞un+1un=limn→∞1en+1·en1=1e<1，
因此∑∞n=11en收敛，由“收敛+收敛=收敛”可知C项正确；
D项可分解为∑∞n=1un+∑∞n=1（-1），而∑∞n=1（-1）显然发散，由“收敛+发散=发散”可知D项发散。故选C。
5.【答案】C
【解析】如图所示，积分区域D可表示为0≤θ≤π2，0≤r≤2acosθ，于是
Df（x，y）dσ=∫π20dθ∫2acosθ0f（rcosθ，rsinθ）rdr。
故选C。
第Ⅱ卷
二、填空题
6.【答案】-1
【解析】因为
limx→∞x-1xx=limx→∞1+-1xx-1·-1x·x=e-1，
∫a-∞exdx=exa-∞=ea-0=ea，
所以ea=e-1，因此a=-1。
7.【答案】π2
【解析】先拆分再积分，
∫1-1x3+11+x2dx=∫1-1x31+x2dx+∫1-111+x2dx。
积分区间是对称的，且被积函数x31+x2为奇函数，11+x2为偶函数，由奇偶函数在对称区间的积分性质可知
∫1-1x31+x2dx=0，∫1-111+x2dx=2∫1011+x2dx，
因此
∫1-1x3+11+x2dx=2∫1011+x2dx=2arctanx10=π2。
8.【答案】-1y2
【解析】由全微分的表达式可知zx=1y，因此
2zxy=-1y2。
9.【答案】x2y=4
【解析】对已知方程分离变量得dyy=-2dxx，两边同时积分得∫dyy=-2∫dxx，解得
lny=-2lnx+lnC，
移项整理得lny+lnx2=lnC，所以x2y=C。又yx=2=1，故C=4，因此微分方程的特解为x2y=4。
10.【答案】4a6
【解析】由题设，在切点处有
y′=3x2-3a2=0，x20=a2，
又已知曲线与x轴相切，即在切点处y的坐标为0，于是有
x30-3a2x0+b=0，
整理得
b2=（3a2x0-x30）2=x20（3a2-x20）2=a2·4a4=4a6。
三、计算题
11.【解析】由洛必达法则和等价无穷小替换可得
limx→0∫x0（et2-1）dttanx-x=limx→0ex2-1sec2x-1=limx→0x2tan2x=1。
12.【解析】由y=xxe2x两边取对数得
lny=xlnx+2x，
两边同时求导得，
y′y=lnx+x·1x+2=lnx+3，
故y′=xxe2x（lnx+3）。
13.【解析】因为xlnx为f（x）的一个原函数，所以
f（x）=（xlnx）′=lnx+1，
因此
∫xf′（x）dx=∫xdf（x）=xf（x）-∫f（x）dx
=x（lnx+1）-xlnx+C=x+C。
14.【解析】方法一：根据已知方程，令
F（x，y，z）=xz-lnzy=xz-lnz+lny，
由隐函数求导法则，
zx=-F′xF′z=-1z-xz2-1z=zx+z，
zy=-F′yF′z=-1y-xz2-1z=z2y（x+z），
因此
zx+zy=zx+z+z2y（x+z）=z（y+z）y（x+z）。
方法二：方程xz=lnzy两边对x求导可得
1z-xz2zx=yz·1yzx，
解得zx=zx+z；
方程xz=lnzy两边对y求导可得
-xz2zy=yz-zy2+1yzy，
解得zy=z2y（x+z）。
代入可得
zx+zy=zx+z+z2y（x+z）=z（y+z）y（x+z）。
15.【解析】令x-1=t，则dx=dt，当x=-2时，t=-3，当x=2时，t=1，则
∫2-2f（x-1）dx=∫1-3f（t）dt=∫0-31etdt+∫101t+1dt
=-1et0-3+ln（t+1）10=e3+ln2-1。
16.【解析】方法一：如图所示，积分区域D可表示为0≤y≤1，-y≤x≤0，故
D（x+y）dxdy=∫10dy∫0-y（x+y）dx
=∫10y22dy=16y310=16。
方法二：如图所示，积分区域D可表示为-1≤x≤0，-x≤y≤1，故
D（x+y）dxdy=∫0-1dx∫1-x（x+y）dy=∫0-112x2+x+12dx
=16x3+12x2+12x0-1=16。
17.【解析】已知级数可拆分为
∑∞n=1n2+（-2）n3n=∑∞n=1n23n+∑∞n=1（-2）n3n，
设an=∑∞n=1n23n，bn=∑∞n=1（-2）n3n，bn是公比为-23的等比级数且q=-23<1，所以bn是收敛的。
对于级数an=∑∞n=1n23n，
limn→∞an+1an=limn→∞（n+1）23n+13nn2=limn→∞（n+1）23n2=13<1，
由比值判别法可知级数an是收敛的。故原级数是收敛的。
18.【解析】微分方程的特征方程为r2+r-2=0，解得r1=-2，r2=1，其通解为
y=C1e-2x+C2ex，y′=-2C1e-2x+C2ex，
由题意可知，y′（0）=0，y（0）=3，代入可得C1=1，C2=2，故
y（x）=e-2x+2ex。
四、综合题
19.【解析】设底面半径为x，则高为300πx2，总造价为
f（x）=2πx2+2πx·300πx2=2πx2+600x。
f′（x）=4πx-600x2，令f′（x）=0，得x=3150π。又
f″（x）=4π+1200x3， f″3150π=12π>0，
从而当x=3150π时， f（x）取得极小值，即小值。此时
h=300πx2=300πx3·x=300π150π·3150π=23150π，
故当底面半径为3150π米，高为底面半径的2倍时，总造价低。
20.【解析】D1和D2如图所示，x=a时y=2a2。
（1）V1可视为两个旋转体的体积差，即
V1=πa2·2a2-π∫2a20y2dy=πa4。
D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2为
V2=∫2aπ（2x2）2dx=45π（32-a5）。
（2）根据题意，设D1和D2面积分别为A1和A2，
A1=∫a02x2dx=23a3，A2=∫2a2x2dx=23（8-a3），
因为A1=A2，所以a=34。
新书资讯
