本书系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。内容包括数论基础，涉及整除、同余、次数与原根、二次剩余和素数检验与整数分解等内容；代数系统，涉及群、环、域的概念及其应用等内容；椭圆曲线，涉及椭圆曲线的预备知识，椭圆曲线，椭圆曲线上的离散对数等内容；离散对数等。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。
第2版前言
“信息安全数学基础”是本科信息安全、网络空间安全、密码科学与技术的专业基础课程之一，是进一步深入学习网络空间安全理论与技术、密码技术的重要基础本书是南开大学信息安全专业和密码科学与技术专业“信息安全数学基础”课程的教材，在上一版的基础上，针对网络空间安全理论与技术的新进展所需的数学知识，综合考虑教学过程中的实际要求和遇到的问题做了修订和调整
在上一版中，代数系统部分（第8章，域）的难度偏高，本科生接受起来稍显困难而且，书中数学知识的相关应用内容较少，使得此课程与后继课程的关联性不足，学生不能很好地把握所学知识的应用前景为此，一方面，我们对上一版中群、环、域部分的内容次序进行了适当调整，并且为了满足密码科学与技术专业的需求，增加了有限域的内容；另一方面，增加了第9章，用于介绍所学数学知识在密码学中的应用此外，我们删除了上一版中的第1章（预备知识），将相关内容适当地调整至相关的章节内而且，我们还将教学过程中积累的部分精选习题补充到各章习题中，帮助学生理解和掌握所学知识并进行能力拓展
全书分为4个部分，共包括9章内容：
数论基础部分（第1～4章），介绍数论的基础内容，包括整除、同余、同余方程、原根与指数以及数论的应用等内容
代数系统部分（第5～7章），介绍群、环、域的概念和知识，以及有限域理论
椭圆曲线部分（第8章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线等内容
密码学中的数学问题部分（第9章），主要介绍书中数学知识在密码学中的应用问题需要特别说明的是，这一章在内容组织方面涵盖密码算法涉及的多个数学问题，在内容表述方面浅显易懂，利用简单的例子，让读者通过手动推演就能理解问题的实质
本书适合高等学校信息安全、网络空间安全和密码科学与技术专业的本科生作为教材使用，也适合计算机科学与技术和通信工程等专业的研究生，以及相关领域的科研人员和技术人员作为参考书使用
本书由贾春福、李瑞琪、袁科编著，钟安鸣参与了第8、9章的编写本书经过多年的完善逐渐形成，参与本书之前版本编写的包括赵源超（天津理工大学）、杨骏（现于哈佛大学从事博士后研究工作）和高敏芬（南开大学）
在编写过程中，机械工业出版社的编辑给予了大力支持和帮助，在此深表感谢
编者
2022年10月于南开园
第1版前言
计算机和网络技术的飞速发展与广泛应用，极大地促进了社会的发展，也彻底改变了人们的生活和工作方式与此同时，网络与信息安全问题也更多地受到关注，网络空间安全理论与技术已经成为当前重要的研究领域之一，网络空间安全专门人才的培养受到了社会的空前重视
“信息安全数学基础”是信息安全本科专业的基础课之一，对网络空间安全理论与技术（特别是网络空间安全的核心技术——密码技术）的深入学习具有重要的意义本书是在南开大学信息安全专业“信息安全数学基础”课程授课讲义的基础上整理而成的
全书分为4部分，共包括9章内容：
第一部分：预备知识（第1章），介绍书中后续章节所涉及的基本概念和基础知识，包括集合、关系、函数、映射与势以及拓扑空间等
第二部分：数论基础（第2～5章），介绍数论的基本内容，包括整除（整数的因子分解）、同余、原根与指数、二次剩余以及数论的应用等内容
第三部分：抽象代数基础（第6～8章），介绍群、环、域的概念和知识，以及初等伽罗瓦理论和有限域理论
第四部分：椭圆曲线（第9章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括仿射空间和射影空间、Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线和椭圆曲线上的离散对数等内容
书中每节末都配有适量的习题，供学生在复习和巩固书中所学内容时使用习题包括A、B两组：A组主要用于巩固学生在课堂上所学的内容和知识，B组主要用于拓展学生的知识和技能
本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》（清华大学出版社，2014）中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年积累的实际教学经验融入其中，力求知识系统化，能较好地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识书中全面涵盖相关基础知识，对其中的数学结论都给出了详细的证明，书中所配的习题着力于帮助学生巩固所学的内容和拓展能力本书适合高等学校信息安全、计算机科学技术和通信工程等专业的本科生和研究生使用，也可供相关领域的科研人员和技术人员参考
本书由贾春福、钟安鸣和杨骏编写．高敏芬老师、李瑞琪、梁爽、吕童童、田美琦、程晓阳和郑万通等参与了书稿的阅读和校对．由于时间仓促，书中难免有疏漏和不当之处，敬请读者批评指正．
编者
2016年10月于南开园
贾春福，南开大学网络空间安全学院教授、博士生导师，天津市网络与数据安全重点实验室主任。研究领域包括系统与网络安全、软件安全与恶意代码分析、可信计算等。承担973计划、重点研发、863计划和国家自然科学基金项目等18项，省部级项目10余项，发表论文120余篇。2021年入选“高校计算机专业优秀教师奖励计划”，2019年获网络安全优秀教师奖，2016年获南开大学优秀博士学位论文指导教师称号，2001年获天津市自然科学二等奖1项。现任高等学校教学指导委员会、高等学校网络空间安全专业教学指导委员会委员，天津市人民政府学科评议组成员，天津市网络安全和信息化工作特聘专家，《电子与信息学报》期刊编委等。
第2版前言
第1版前言
教学建议
第1章整除1
11整除与带余除法1
12最大公因子与辗转相除法5
13算术基本定理11
14连分数15
141连分数的定义和性质15
142连分数的应用——RSA的
Wiener攻击23
15完全数、梅森素数和费马素数25
第2章同余28
21同余的概念和性质28
22剩余类和剩余系33
23欧拉定理和费马小定理35
24扩展欧几里得算法和威尔逊定理41
第3章同余方程46
31线性同余方程46
32线性同余方程组与中国剩余定理49
33二次剩余58
34勒让德符号与二次互反律61
341勒让德符号61
342高斯引理63
343二次互反律67
35雅可比符号72
36高次同余方程76
第4章原根与指数82
41次数82
42原根88
43指数与高次剩余96
第5章群101
51映射与关系101
511映射102
512关系103
52群的概念与性质107
53陪集与商群112
54同态和同构116
55循环群121
56置换群124
第6章环与域129
61环与域的概念和性质129
62子环、理想和商环134
63三类重要的环140
631唯一析因环140
632主理想整环142
633欧几里得环143
64多项式环145
641交换幺环上的多项式环145
642域上的多项式147
65素理想和极大理想153
第7章有限域157
71域的扩张157
72有限域及其性质162
721有限域及其子域162
722有限域的群结构 164
723有限域中元素的表示 170
73基173
731迹和范数174
732多项式基和对偶基 177
733正规基182
74有限域上的多项式183
741有限域上的多项式分解184
742有限域上的不可约多项式188
第8章椭圆曲线192
81仿射平面与射影平面192
82Weierstrass方程与椭圆曲线195
83椭圆曲线上的群结构200
84有限域上的椭圆曲线204
第9章密码学中的数学问题212
91素性检测212
92大整数分解问题216
93RSA问题219
94二次剩余问题220
95离散对数问题223
96双线性对问题231
参考文献234
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