变分法及其应用_欧斐君编著_9787040365566

　变分法是研究泛函极值问题的一门科学，是古典数学的一个分支。　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》共分六章。第一章介绍泛函分析的一些基本概念和符号；第二章、第三章提出四个古典的变分模型，讨论泛函取得极值的必要条件、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍物理学、力学中的变分原理，二次泛函极小与特征值的关系，正定算子的极小泛函；第五章介绍变分学中的直接方法；第六章介绍极值的充分条件。　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》可作为应用数学、应用物理及应用力学等专业本科生、研究生的教材，也可作为科技工作者的参考书。

　　20世纪80年代，我开始在西安交通大学给应用数学、应用力学、应用物理专业的学生讲授变分法。与之同时，萧树铁教授在全国高校推广数学建模。是萧先生带我走上数模之路，以后我也把数学建模作为学习、教学与研究的方向。1986年，我在西安交通大学筹办了“第二期全国数模教师培训班”；1988年，在南华大学筹办了“全国数学模型教学经验交流会”；1991年8月，又在张家界筹办了“全国数学建模学术会议”。2011年12月22日，我作为特邀代表，出席了在北京人民大会堂召开的“全国大学生数学建模竞赛20周年庆典暨2011‘高教社杯’颁奖仪式”，遂激励我把在高校教书到70岁的心得写书成册。
　　在经济建设中，常常会遇到这样一类问题，在一定条件下，怎样设计制造产品，使其用料最省，或成本最低，或投资最小等。在自然现象中，也存在着许多极值规律。例如，光在通过介质的光路时，使其所需时间最小（费马原理）；物体在它所容许的位置中，将自然地处于使其势能为最小的位置（最小势能原理）等。这些都是极值问题。极值问题的研究十分重要，它一直是推动数学、物理、力学发展的主要动力。
　　变分法是研究极值的重要理论与方法，然而它的研究对象与微分学不一样，变分法是研究泛函的极值。
　　在自然科学中，变分法的应用极为广泛。一方面，它常用来推导描述自然现象的控制微分方程；另一方面，物理、力学中的多种变分原理的发展，使变分原理本身已成为某些学科理论的组成部分。值得指出的是变分法在计算方法中的应用。20世纪开创的变分法的直接方法有里茨方法与伽辽金方法等，到1943年由柯朗创立、50年代首先由建筑结构工程师使用的有限元方法，已成为重要的计算方法，而有限元的数学基础是变分法。
　　本书共分六章。第一章简单介绍泛函分析的基本概念；第二、三章介绍变分法的四个经典模型及基本理论、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍费马原理、哈密顿原理、最小势能原理、二次泛函的极小与特征值问题的关系、正定算子的极小泛函：第五章介绍变分法的直接方法：里茨方法、伽辽金方法、半解析方法；第六章介绍变分法极值的充分条件。全书各章配有习题，并附有参考答案。

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