九年数学教与学参考——青年数学教师教学素养提升教程（几何初步）_周齐_9787562851905

这套书共分为三册，《代数初步》《几何初步》《综合题析》。《几何初步》主要包括几何基础和几何图形两大部分，其中几何图形又分为直线、线段、射线、角、平面向量、图形的运动和三角形，轨迹，四边形，多边形的面积，勾股定理，比例线段，相似形和圆。同时，结合定义和定理的来源、丰富多样的例题以及拓展阅读资料，加深对知识的理解。

平面几何是最古老的数学分支之一，其特点是具有图形的直观性和逻辑的严谨性，因此成为培养和考查一个人的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的上好题材.《几何原本》（欧几里得著，兰纪正、朱恩宽译，陕西科学技术出版社2003年6月第二版）的逻辑结构如下:第Ⅰ卷给出了23个定义、5个公设、5个公理.其实欧几里得说的公设就是我们后来所说的公理，他的公理是关于量的计算和证明的公理.分别是：公理1：等于同一个量的量相等（这里的量原文是thing）.公理2：等量加等量,其和仍相等.公理3：等量减等量,其差仍相等.公理4：彼此能重合的物体是相等的（包含了全等的情况）.公理5：整体大于部分.他给出的5个公设也就是后来我们教科书中的公理.分别是：公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线.公设2：一条有限线段可以继续延长.公设3：以任意点为圆心及任意的距离可以画圆.公设4：凡直角都彼此相等.公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两个直角的和，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交. 从欧几里得《几何原本》建立公理化体系以后，数学上各个分支都进行了公理化处理.1899年希尔伯特在《几何基础》这本书里，给出五组二十条公理：第一组接合公理I1通过任意给定的两点有一直线．I2通过任意给定的两点至多有一直线．I3每一直线上至少有两点；至少有三点不同在一直线上．I4通过任意给定的不共线三点有一平面；每一平面上至少有一点．I5至多有一平面通过任意给定的不共线三点．I6若直线a的两点A,B在平面上，则a上所有点都在上.这时直线a称为在平面上，或平面通过或含有a．I7若两平面有一公共点，则至少还有一公共点．I8至少有四点不同在一平面上．第二组顺序公理II1若点B介于两点A,C之间，则A,B,C是一直线上的互异点，且B也介于C,A之间．II2对于任意两点A,B，直线AB上至少有一点C存在，使B介于A,C之间．II3在共线三点中，一点介于其他两点间的情况不多于一次．II4（帕须公理）设A,B,C是不共线的三点，a是平面ABC上不通过A,B,C中任一点的一直线，则若a有一点介于A,B之间，那么它必还有一点介于A,C之间或介于B,C之间．第三组合同公理III1设A,B为一直线a上两点，A为同一或另一直线a上的点，则在a上点A的给定一侧有且只有一点B使线段AB合同于或等于线段AB,即AB=AB.并且对于每一线段，要求AB=BA．III2设线段AB=AB,AB=AB，则也有AB=AB．III3设AB和BC是直线a上没有公共内点的两线段，而AB和BC是同一或另一直线a上的两线段，也没有公共内点．如果这时有AB=AB,BC=BC，则也有AC=AC．III4在平面上给定h,k，在同一或另一平面上给定直线a，而且在平面上指定了关于直线a的一侧．设h是直线a上以一点O为原点的射线，那么在平面上直线a的指定一侧，有一条且只有一条以O为原点的射线k使h,k=h,k．每个角都要求与自身合同，即h,k=k,h以及h,k=k,h．即是说：每个角可以唯一地放在给定平面上给定射线的给定一侧．III5设A,B,C是不共线三点,而A,B,C也是不共线三点，如果这时有AB=AB,AC=AC,BAC=BAC,那么也就有ABC=ABC,ACB=ACB.第四组连续公理IV1（阿基米德公理）设AB和CD是任二线段，那么在直线AB上存在着有限个点A1,A2,…,An，排成这样:A1介于A和A2之间，A2介于A1和A3之间，以下类推，并且线段AA1,A1A2,…,An－1An，都合同于线段CD，而且B介于A和An之间．IV2（康托公理）设在一直线a上有由线段组成的一个无穷序列A1B1,A2B2,…,其中在后的每一线段都被包含在前一个内部，并且任意给定一线段，总有一足码n使线段AnBn比它小．那么在直线a上存在一点X落在每个线段A1B1,A2B2,…的内部．第五组平行公理通过直线外一点至多可引一直线平行于该直线．1899年D.希尔伯特在《几何基础》这本书里，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则．为完善欧几里得几何公理系统、各公理组间的逻辑关系, 希尔伯特提出了几何公理体系的3个基本原则,那就是公理体系须具有相容性、独立性和完备性.(1) 相容性.在公理系统中如果不能推导出两个互相矛盾的命题（即互为反命题的命题），这个公理系统就称为相容的或无矛盾的，也称和谐的.一个公理体系如果有矛盾，它在逻辑上就不正确，更谈不上在现实中的应用，这种公理体系就不能成为一种理论，因此要求任何公理体系必须是相容的.(2) 独立性.公理体系的独立性是指该公理体系中的每条公理都有其存在的必要，即每条公理都不是其余公理的推论.否则，将此条公理去掉不会影响该公理体系的结论.所以独立性的问题就是在保留同样多的推论的前提下，公理体系中公理个数最少的问题.(3) 完备性.公理体系的完备性就是该体系中有足够个数的公理，并以之为依据可推导出该体系的全部结论.后人评述,公理化处理是一件伟大的事情，也是一件极其艰难的事情.公理化就是抽象化．几何空间是叫作几何元素的对象或物的集合，它们相互间的关系满足一定的公理要求．这样，所谓欧几里得空间可以看作满足欧几里得几何公理要求的元素的集合，所谓罗巴切夫斯基空间可以看作满足罗巴切夫斯基几何公理要求的元素的集合．作为初等教育课程的平面几何建立在怎样的公理体系下呢？苏联十年制学校数学教材《几何》（安?尼?柯尔莫柯洛夫主编，刘远图、余至甫等译，人民教育出版社1978年7月第一版）的逻辑结构如下:1. 列出不加定义的基本概念：点、直线、平面、两点间的距离（除了这四个概念外，其他所有的几何概念都给出定义）.2. 用基本概念给出其他几何概念的定义（如点的集合叫作几何图形等）.3. 给定公理（如两点间距离的性质、两点确定一直线等）.4. 以公理和定义为基础证明定理.苏联十年制学校数学教材《几何》的初始阶段主要内容顺序如下：几何的基本概念度量和数图形的合同与位移：平行、旋转、轴对称几何作图等腰三角形的性质两圆周相交三角形全等的判定（在两圆周相交与图形的合同的基础上论证）角平分线的性质互逆命题和互逆定理平行公理方向、射线、方向之间的角三角形的内角和直线平行的判定平行线等分线段定理三角形的中位线多边形（三角形、四边形、等）此教材基本延续欧氏几何的精髓，定义、公理、定理、运算公式等成为这门学科的理论支撑.在当前课程改革中,为解决几何教学入门难问题，不少教材采取了公理扩大化的做法：1984年(课改以前)人民教育出版社统编教材中的公理：（1）两点确定一条直线（2）两点间线段最短（3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（4）同位角相等，两直线平行（5）边角边（6）角边角（7）矩形面积等于底乘以高1993年(一期课改)上海教育出版社教材中的公理：（1）两点确定一条直线（2）两点间线段最短（3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（4）两直线平行，同位角相等2006年(二期课改)上海教育出版社教材中的公理：(1) 两点间线段最短(2) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(4) 同位角相等，两直线平行(5) 两直线平行，同位角相等注意：其中（3)、（4)、（5)是定理，缺失了公理两点确定一直线.在三角形全等的四条判定定理(ASA、AAS、SAS、SSS)和直角三角形全等判定(HL)中,1983年《几何》第一册（人民教育出版社）处理为2公理3定理2004年《义务教育课程标准实验教科书?数学》11月第一版八年级上册（人民教育出版社）处理为4公理1定理2007年版九年义务教育课本《数学》（北京师范大学出版社）七年级下册处理为3公理2定理2007年版九年义务教育课本《数学》（华东师范大学出版社）处理为3公理2定理公理扩大化的代价是牺牲了公理体系的独立性，如此随意地规定公理，使得课堂教学中出现种种问题.例如,有的教材把三角形全等的判定定理全部作为公理,有的教材用操作实验（按已知条件画一个三角形剪下，与另一个同学剪下的三角形能重合，就得出定理）替代定理证明，这两种处理，前者混淆了公理和定理,造成公理之间可以互推,违背了公理体系的独立性原则；后者则停留在探索实验阶段,根本没有进入论证几何.这样的做法造成以后在勾股定理教学中，有教师让学生画一个边长分别为3cm、4cm、5cm的三角形，然后量得最大角为90，于是得出勾股定理及其逆定理.当本书作者提问这样教是否符合论证几何教学要求时，教师的答复是：教材里三角形全等判定定理就是用这样的方法得出的.无独有偶,在相似三角形判定定理的教学中，有教师为了腾出更多课时进行题海训练，在新授课的定理引进环节中，对定理不予以证明，只是指出：与全等三角形判定定理类似，相似三角形判定定理可对应地记忆，即三边对应相等则两三角形全等对应三边对应成比例则两三角形相似；两边对应相等且夹角相等则两三角形全等对应两边对应成比例且夹角相等则两三角形相似；两角及一边对应相等则两三角形全等对应两角相等则两三角形相似，两直角三角形的斜边直角边对应相等则全等对应两直角三角形的斜边直角边对应成比例则相似，然后就进入例题讲解和练习环节.这样的教学或许能节约课时（如果课本上对定理有清晰的证明，或许学生可以自己阅读），如果教材内也不出现证明过程，那么这些定理就被默认为公理了.教材的随意性可能造成师生对知识形成过程的错误认识.公理规定的随意性破坏了几何论证的有序性.试想如果对上述定理都认定为基本事实而不证，是否在三角形全等判定之后甚至之前就可以进行相似三角形判定的教学？勾股定理可以在任意篇章内出现，定理与定理之间是否出现循环论证也无从查实，那么，几何论证的核心价值逻辑何在？在初等教育的平面几何课程中，公理扩大化造成混乱，不是个办法.从这一点上看，二十多年来，我们接触到的各种课改教材中，还属上海一期课改教材对公理的处理比较慎重，对三角形全等的判定和性质定理是全部证明的.但是这套教材也有不足之处：一是它也有一条扩大公理两直线平行，同位角相等；二是这套教材的几何分为三个阶段直观几何（一至五年级）、实验几何（六至七年级）、论证几何（八至九年级），而论证几何的理论支撑有叠合公理（或处理为线段、角相等的定义）、教材规定的4条公理和各种定义、图形的三种运动：平移、旋转、翻折（以下简称图形运动）.图形运动作为实验几何阶段教材，没有经过论证进入论证几何，因此有直观的成分，默认运动结果所得图形与原图形全等.图形运动如果基于直观和实验，会出现与公理扩大化同样的问题.如果纳入论证几何,它的理论支撑又是什么？图形运动是几何变换，一种变换结果所得图形与原图形全等必须是合同变换，平面上保持任意两点距离不变的变换是合同变换.丘成桐教授认为:平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理，更重要的是它提供了在中学期间唯一的逻辑训练，是每一个年轻人所必需的知识. 最近我惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考. 明朝利玛窦与徐光启翻译了《几何原本》这本书，徐光启认为这本书的伟大之处在于一环扣一环，能够将数学的真理解释清楚，是了不起的著作.怎么样训练逻辑思考比学习中学其他学科更为重要的.本书作者认为论证几何本身提供了一个公理体系以及推理的方法，并且要求推理的规则是顺序性和严密性.对欧氏几何公理体系这一文化遗产的研究方向，从科学发展的角度看，需要我们研究的是如何保持甚至改进欧氏几何这颗人类文明史上钻石的璀璨，而不是牺牲这颗钻石的品质.我们应该在保持相容性、独立性、完备性的前提下着力于研究如何尽可能减少公理的数量而非任意增加.正如我们研究数学命题时，经常考虑在保持结论不变的情况下，能否减少条件，能否简化证法.这在数学研究中是常理.我们不能从对应试教育的否定，走向对知识本身的否定.对许多相信直觉、力求大概的学生来说，数学严密的逻辑性、严谨的精准性，恰恰是非常宝贵、非常必要的思维训练.教材改革不能等同于课堂教学方法的花样性.真正起作用的是教学的内容的选取，知识的融会贯通、合理的顺序及流畅性.科学的内容让学生习得逻辑推理的思想方法，这是可持续发展的土壤.断章取义的教学内容必然造成死记硬背的学习.数学教学的任务是种花而不是切花.课程改革的原则之一是在保证学科科学性的前提下，删繁就简.基于以上考虑，本书的指导思想是：抓住平面几何的本质,把它的逻辑体系讲精,把平面几何的公理体系逻辑脉络理清，环环相扣，言之有理，言必有据.简明扼要地讲透，使学生们感受到欧氏几何内在的逻辑美，感受到推理证明的巨大力量.下面的例子中，分别阐述了本书对教材内容的处理：1. 本书尽力用最少的公理构筑初等教育的平面几何空间.2. 本书认为对间接证法的回避直接导致任意扩大公理体系.在几何论证中,反证法、同一法等间接证法是几何论证中不可或缺的，是重要的数学思想方法，所以需要把间接证法作为重要的学习内容之一.3. 本书赞同我们现在的教材中,对一些实数模型类的公理,采用定义的方法给出,在不影响科学性的前提下,更易于读者理解,如:(1) 把原来对线段和角的大小比较的合同公理改为定义的形式.现在的教材中的定义：1）叠合线段AB与线段CD，先使点A与点C重合，如果点B落在C、D之间，就说线段AB小于线段CD，记作AB < CD或者说线段CD大于AB, 记作 CD > AB.如果点B与点D重合，就说线段AB与线段CD相等，记作AB=CD.2）移动AOB，使它的顶点O及一条边OA分别与另一个角DEF的顶点E及一条边DE重合，OB和EF都落在叠合的边的同侧，如果边OB落在DEF内，就说AOB小于DEF，记作AOB < DEF或者说DEF大于AOB, 记作 DEF> AOB.如果边OB与边EF重合，就说AOB与DEF相等，记作AOB=DEF.(2) 把存在性也包含在平行公理中.严格的公理体系中平行公理是通过不在直线上的一点至多可以引一条直线与该直线平行.它只保证了平行线的唯一性而不保证存在性，现在的教材叙述为过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，把存在性也包含在平行公理中.4. 本书认为我们现在的教材中,把线段作为默认的概念，用线段的长来定义两点间的距离是有科学性问题的：①定义连接两点的线段的长度叫作两点间的距离;②在例题、练习题和考试题中，规定了线段的长度不能为零，两点间距离可以为零.于是出现矛盾：①距离是长度，长度不能为零；②距离却可以为零.这个矛盾的根源在于用取值范围小的量（线段的长度不能为零）来定义取值范围大的量（两点间距离可以为零），其实是用子概念（线段的长）来定义母概念（两点间距离）.基于这个原因，本书采用了苏联教材的结构：把两点间的距离作为基本概念，用两点距离来定义线段的长.5. 平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.本书认为图形运动是建立在合同变换基础上的有科学依据的重要的数学思想方法，是足以作为推理依据的证明手段，合理结合运用欧几里得公理4（彼此能重合的物体是相等的）及反证法、同一法完全可以在初中学生理解力的范围内解决现在被扩大为公理的几个命题的证明，可以避免任意扩大公理体系.为了解决如何把原来实验几何中的三种图形运动纳入到论证几何的问题，本书采取提早定义向量，把向量作为证明平移、旋转运动符合平面上保持任意两点距离不变的变换是合同变换的基础，从而使图形运动纳入论证几何获得了理论支撑.由此，可以使平面几何成为在三条公理及由此推出的120条定理所构成的论证几何体系.6. 本书认为对勾股定理这样具有表达形式简单、记忆使用容易、证明难以提前特点的知识，还是应该遵循知识产生的顺序性，给出严谨的证明，不宜删去部分证明过程后随意提前出现.如果提前出现，也必须事后补证.现在的一些教材中对这个问题的处理是提前出现，不完整证明，事后不补，这样既破坏定理证明的完整性又破坏教材内部结构的顺序,是不妥当的.7. 传统的平面几何中，定义的多边形和圆都是点和线组成的封闭图形，所以在四边形之前的部分都是先对边长、周长、角进行计算.在四边形之后，定义了封闭图形的面积并论述了矩形面积公式，才进入图形面积计算.对矩形面积公式的导出也有不同的处理方式，即有的直接作为公理给出,有的作为定理证出.而现在几乎所有的教材中都不做任何交代.本书根据公理的三性原则，能证的就作定理.为避免繁琐，用阅读形式给出了证明过程的简述.8. 应用性软件几何画板的出现并得到日益广泛的应用，使得古老的尺规作图的原理和思想方法有了重要的现代意义和使用价值.中学教材也应及时作出反应，把基本尺规作图作为学生应该掌握的一种技能来设计问题，使得基本尺规作图与几何知识建构具有紧密的联系.草以绿贵,树以根贵，画以神贵,书以理贵.本书尽量把树根展现给读者.

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