适读人群 ：广大读者

      本书稿有两大特色：一是每道精选题都具有极高的参考价值，不仅能提高解题能力，还能培养数学思维和逻辑能力；二是在解题过程中体现了单墫教授的解题思想和艺术，有助于教师的成长与解题教学的开展。

　　数学题多，太多了！准备高考的同学都做了大量的题。题多，很多人称之为“题海”。数学竞赛的题更多了。高考题的内容限定了课本，题型也都是常见的，而竞赛则不断推陈出新，变化无穷。竞赛题多，比大海还要浩瀚，可以称之为“题洋”。但我们不必“望洋兴叹”。因为本来就没有必要做完所有的题，喝干“洋”水。“弱水三千，只取一瓢”。从大洋中舀一瓢水，细细品味，就可以知道大洋的成分。同样地，从众多的竞赛题中选出一部分，仔细分析，就可以基本了解竞赛题的全貌。为此，我们选择了一百多道竞赛题。认真地做好这一百多道题，可以提高解题的能力，在题洋中自由自在地游来游去。这就好像《唐诗三百首》，好像《古文观止》，从众多的唐诗、古文中选出一部分有代表性的作品，熟读之后，对古代的诗、文就有所了解，甚至“不会做诗也会吟”。选择的标准是：1.有代表性的题，解这种题的思想方法值得学习。2.有一定难度的好题，有讨论的价值与必要。3.我自己做过的题（但我以前的书中写过的。注意少收，以免重复）。这本书不是一本习题集，它的目标不是给出一百多道题的解答、而是想说一说如何去寻找问题的解答。元遗山说：“鸳鸯绣了从教看，莫把金针度与人”。其实“鸳鸯绣了从教看”就已经是“欲把金针度与人”。一个自己动手去绣的人，一个细心而又有悟性的人，往往能从绣好的鸳鸯看出针法与诀窍。我们的目的当然是“金针度人”，所以不仅有较为详细的解答（“绣好的鸳鸯”），而且也谈一些自己解题的经验、体会与探索的过程。

　　当然!探索的过程是很难写的。因为思路往往是难以说清的，何况“一个人不能两次进入同一条河”。在写解题思路时，那思路可能已经不是原始的状态，“欲辩已忘言”。有时，真实的探索过程又十分的漫长，完全写出来也有点乏味。所以，我们只能尽可能真实而又尽可能简洁地复原一些思考过程，并尝试用各种不同的方法来描述。例如，增加分析的分量，夹叙夹议，比较多种解法，适时总结，略作评注等。有时，还请来两个学生甲、乙一同讨论。事实上，《我怎样解题》的“我”并不只是作者一个人，而是包括了与作者一同讨论的众多朋友，特别是广大的学生群体。这些学生或看过我写的书，或听过我的讲课，而在与他们的讨论中，我也学到了许多好的解法，获益良多。所以，书名中的“我”，其实是“我们”。写成“我”只是为了少印一个字，符合“简单”的原则。

　　我解过很多的题，但并无什么“绝招”。有位学生给我写了一封信，讲到解题的事。摘录如下：

　　“最近，我在***老师那边上了十天课。他强调解题时要运用原则，运用对称性分析、结构分析、图象化、图表化等方法。听他讲课时总觉得他的解法是一种必然。但自己实际做题时，往往觉得原则无处可用，只能像以前一样瞎做。在这点上，我觉得你和***老师很不一样，你解题时十分重视感觉，很少谈一些原则。你总认为解题没有万能的方法，最好的方法就是探索。我想知道，解题到底是靠什么？”

　　解题到底靠什么？我靠的也就是平常的、普通人的常识，即：1.必须自己动手解题，才能提高解题能力。2.要做一些有质量的题，一百道左右（本书每一节的问题，大多写在开始部分，目的就是让读者先自己动手去试）。3.仔细审题。搞清题意并不容易。有时做完题回顾时才弄清楚，有时做完了题还不一定清楚题意。4.从简单的做起。尽量找些简单具体直观的实例，由这些实例入手注意总结。要弄清关键所在。有哪几个关键步骤？为什么这样做？要做一题有一题的体会，彻底弄清楚，弄透彻，不仅知其然而且知其所以然。要像大哲学家康德所说：“通过经验使理解力发展到直觉的判断力，再发展到思想观念”，“学会思考”。

　　虽然努力想写好这本书，但是自身才力所限，疵病一定不少，敬请大家批评指正。

第一章 不等式的证明

第二章 几何

第三章 数论

第四章 组合数学

第五章 数列、函数及其他

　　1.取棋子2006堆棋子，各堆的棋子数依次为1，2，…，2006．每次从任意多堆中取走相同的粒数，至少取多少次才能取光?

　　先从简单的情况做起．

　　一堆棋子，1次取完．

　　二堆棋子，一堆1粒，一堆2粒，1次无法取完，2次可以取完．

　　三堆棋子，粒数为1，2，3．第一次在第二和第三堆中各取2粒，第二次取走剩下的2堆(每堆1粒)，2次可以取完．

　　四堆棋子，粒数为1，2，3，4．第一次无论怎样取，剩下的堆中，总有两堆的棋子不同．从而还需两次才能取完．另一方面，第一次在每堆中取1粒即化为上面的三堆的情况，所以至少取3次可以取完．

　　于是，得到下面的表:堆数1234

　　取完次数1223由这表可以猜到，如果堆数k满足2n-1≤k＜2n．(1)各堆粒数为1，2，…，k，那么取完的最少次数是n．

　　这可以用归纳法证明．

　　假定(1)对n成立，那么在堆数k满足2n≤k＜2n+1(2)时，第一次可以在粒数≥2n的堆里取走2n粒．这样，前2n-1堆不变，而第2n堆已经取完，其余各堆粒数为1，2，…，k-2n(＜2n)．

　　根据归纳假设，n次可以取完前2n-1堆．而每次在粒数为d的堆里取棋时，也在后面的(即原来的第2n+1~第k堆)粒数为d的堆里取走同样多的棋．这样，在前2n-1堆取完时，所有堆均被取完．所以n+1次可以取完所有的棋．

　　另一方面，设第一次取走d枚棋．如果d＞2n-1，那么前2n-1堆不变．根据归纳假设，至少还要n次才能取完．如果d≤2n-1，那么原来粒数为d+1，d+2，…，d+2n-1≤2n的堆变成粒数为1，2，…，2n-1的堆，取完它们至少还要n次．因此，至少需要n+1次才能取完．

　　现在210＜2006＜2n，所以至少11次才能取完．

　　2.老虎与驴子平面上给出2005个点，其中任何三点都不共线．每两点均用线连接．老虎与驴子进行游戏:驴子给每条线段标上一个数字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)，接着老虎给每个点标上一个数字．如果有一条线段与它的两端都是相同的数字，那么驴子获胜．请证明:在正确方法下，驴子必胜．

　　这是第68届(2005年）莫斯科数学竞赛试题．

　　过去驴子与老虎比体力，结果“黔驴技穷”，被老虎吃了．新一代的驴子与老虎斗智，驴子却有必胜的方法．

　　数字，不过是一个符号．10个数字是10个符号．我们可以减少符号的个数，从最简单的情况开始．

　　如果驴、虎都只用1个符号0，那么只要有2个点，驴就一定获胜．

　　如果用2个符号0与1，那么点数≤3时，驴无法必胜．但点数≥4时，驴就可以必胜.方法是将4个点分成两组，第一组A1，A2的连线标1，第二组B1，B2的连线也标1，而不同组之间的连线AiBj(1≤i，j≤2)都标0．老虎不能将A1，A2都标1，也不能将B1，B2都标1．但只要A1，A2中有一个标0，且B1，B2中也有1个标0，那么老虎仍然失败．所以老虎必定失败，更多个点当然更是老虎失败．

　　假定对于2n-1个点，用n-1个符号，驴子可以必胜．我们考虑2n个点的情况．

　　驴可以将点分为2n-1组，每组两个点用第n种符号n相连．然后，将每一组作为一个点(第一组的A1，A2作为一个点A;第二组的B1，B2作为一个`点B;…)．这2n-1个点，根据归纳假设，标n-1个符号1，2，…，n-1，驴子有必胜的标法．按照这种标法标AB等线段．而AB标上某个符号k(≤n-1)也就是4条线段AiBj(1≤i，j≤2)都标上k．

　　这样标好符号后，驴子就稳操胜券了．

　　因为在上述的每一组中，必有一个点，老虎标的符号不是n(否则老虎失败)．这样，就有2n-1个点，每两点不在同一组中，标的号都小于n．但对这2n-1个点，仅标n-1种符号，驴子的标法已经保证驴子必胜．

　　因此，对任意自然数n，在点数≥2n时，标n种符号，驴子必胜．

　　现在2005＞210，所以驴子必胜．

　　驴子竟然这样聪明，完全可以担任某些部门的领导了!

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